Еще одно доказательство теоремы Брауэра

[g______d]

Munin в сообщении #1398899 писал(а):

А, понятно! Звёздочка там, где в индексной нотации стоит "сворачивающий индекс".

Вроде не обязательно.

Я не очень понимаю, чем вышеуказанное объяснение плохо. Не всегда, но часто звёздочка обозначает индуцированное отображение: отображению (морфизму) пространств $f\colon X\to Y$ соответствует отображение структур над этими пространствами, которое обозначается $f_*$ или $f^*$ в зависимости от того, в ту же сторону действует индуцированное отображение или в обратную.

Единственная неточность -- то, что этих обозначений всего два, а структур много. Обычно какая именно структура -- или ясно из контекста, или написано явно (например, $f^*\colon C(Y)\to C(X)$), или может быть при необходимости обозначено ещё каким-нибудь символом.

Рекомендую книжку Новиков, Тайманов, "Современные геометрические структуры и поля", это более современная версия "современной геометрии".

[Munin]

Я, вроде, не говорил, что оно плохо.

Просто у меня пока никакой интуиции нет, как понимать звёздочку сверху или снизу. А там ещё и bullet сверху и снизу начнёт появляться...

[george66]

пианист в сообщении #1398730 писал(а):

А нет ли доказательства теоремы Брауэра, которое бы укладывалось в схему:
$f(\lambda x.f(xx) \lambda x.f(xx)) = \lambda x.f(xx) \lambda x.f(xx)$
Извиняюсь за оффтоп

Насколько я знаю, нет, хотя свободные фантазии на эту тему встречал. Собрать все теоремы о неподвижной точке в одну теорию не получается.

[пианист]

А жаль ;)
Ссылками про свободные фантазии не поделитесь?

[george66]

пианист в сообщении #1399061 писал(а):

А жаль ;)
Ссылками про свободные фантазии не поделитесь?

Встречал статью, где метрические пространства вкладывали в домены Скотта (пространство расширяется, получается домен Скотта), но не помню название, не заинтересовало. Есть статья, где весь диагональный метод подводится под общую схему, но там нет теоремы Брауэра
https://arxiv.org/abs/math/0305282

[george66]

пианист в сообщении #1399061 писал(а):

А жаль ;)
Ссылками про свободные фантазии не поделитесь?

Проблема, видимо, в том, что в теореме Брауэра неподвижная точка неустойчива (сколь угодно малое изменение исходной функции сдвигает неподвижную точку куда угодно). Через лямбды получается неподвижная точка, зависящая от функции непрерывно, поэтому там нужны весьма специальные топологические пространства.

[пианист]

Спасибо.
По поводу неустойчивости: прошу прощения, но это точно так?
Никогда раньше не задумывался (и не слышал), но чисто по ощущениям зависимость неподвижной точки от функции кажется непрерывной.
Если нет, то это довольно контринтуитивный для меня факт.

[george66]

пианист в сообщении #1399142 писал(а):

Спасибо.
По поводу неустойчивости: прошу прощения, но это точно так?
Никогда раньше не задумывался (и не слышал), но чисто по ощущениям зависимость неподвижной точки от функции кажется непрерывной.
Если нет, то это довольно контринтуитивный для меня факт.

Хотя, сам засомневался. Если представить отображение отрезка в отрезок, ноль неустойчив (при изменении графика функции на чуть-чуть скачет далеко).

[george66]

Сейчас чуть понятнее скажу. Если представить непрерывное и взаимно однозначное (и допустим, монотонное) отображение отрезка $[-1,1]$ в себя, точка пересечения с осью иксов ("ноль" отображения) может скакать как угодно при сколь угодно малом изменении отображения. Мне кажется, и неподвижная точка в общем случае неустойчива, но обосновать прямо сейчас не смогу.

[Dan B-Yallay]

george66 в сообщении #1399203 писал(а):

Если представить непрерывное и взаимно однозначное (и допустим, монотонное) отображение отрезка $[-1,1]$ в себя, точка пересечения с осью иксов ("ноль" отображения) может скакать как угодно при сколь угодно малом изменении отображения.

Можно ли пример?

[george66]

Dan B-Yallay в сообщении #1399204 писал(а):

george66 в сообщении #1399203 писал(а):

Если представить непрерывное и взаимно однозначное (и допустим, монотонное) отображение отрезка $[-1,1]$ в себя, точка пересечения с осью иксов ("ноль" отображения) может скакать как угодно при сколь угодно малом изменении отображения.

Можно ли пример?

Представьте, что график поднимается, потом идёт почти горизонтально, пересекая ось иксов, а потом опять поднимается. Чуть-чуть поднимая и опуская почти горизонтальную часть, можно гонять точку пересечения с осью иксов туда-сюда.

[Dan B-Yallay]

george66 в сообщении #1399209 писал(а):

Чуть-чуть поднимая и опуская почти горизонтальную часть, можно гонять точку пересечения с осью иксов туда-сюда.

Так ведь это всё равно непрерывно? Просто я понял так, что Вы предлагаете опровержение следующему:

пианист в сообщении #1399142 писал(а):

Никогда раньше не задумывался (и не слышал), но чисто по ощущениям зависимость неподвижной точки от функции кажется непрерывной.
Если нет, то это довольно контринтуитивный для меня факт.

Прошу прощения, если неправильно трактовал Ваши слова.

[Munin]

george66 в сообщении #1399203 писал(а):

Мне кажется, и неподвижная точка в общем случае неустойчива

А разве она не будет попросту точкой пересечения с диагональю? Тогда то же верно и для неё.

[george66]

Не поленился и посмотрел формулировку теоремы Брауэра. Там от функции вообще ничего не требуется, кроме непрерывности! Возьмём функцию из отрезка в отрезок
$f(x)=x$
у неё все точки неподвижные. Сколь угодно малым шевелением графика можно добиться, чтобы была только одна (любая) неподвижная точка.

[pogulyat_vyshel]

Если отображение в условиях теоремы Брауэра, еще и непрерывно зависит от параметра, то по теореме об измеримом выборе можно выделить измеримую функцию , которая каждому значению параметра ставит в соответствие неподвижную точку. Это нестрого, но можно и строго сформулировать.

-- 14.06.2019, 11:24 --

а дальше теорема Лузина:)