Интересная задача (помогите откорректировать решение)

[reterty]

Точечный заряд $q$ с массой $m$ движется перпендикулярно линиям однородного магнитного поля $B$. Считая движение квазиклассическим (кинетическая энергия частицы много больше энергии основного уровня Ландау) и квазистационарным и применяя выражение для силы радиационного трения определить временную звисимость $v(t)$ и уравнение траектории $r(\varphi)$. Начальная скорость частицы равна $v_0$.

Как известно, сила радиационного трения равна $\alpha \dot{\vec{a}}$ (здесь $\alpha$-константа). Условие квазистационарности предполагает, что сила радиационного трения много меньше силы Лоренца, обуславливющей сама по себе движение по окружности. Но тогда сила радиационного трения $\approx \alpha \dot{\vec{a_n}}$, где $a_n$-нормальное ускорение, и приближенно направлена по касательной к траектории противоположно мгновенной скорости частицы. Имеем: $\dot{a_n}=\dot{(v^2/r)}=\frac{2v\dot{v}}{r}-\frac{v^2\dot{r}}{r^2}$. Записывая уравнение движения для нормального направления, получим: $v=\beta r$, где $\beta$-константа (соответственно, $\dot{v}=\beta \dot{r}$). Тогда $\dot{a_n}=\beta\dot{v}$ (1). Запишем теперь уравнение для касательного направления: $m \dot{v}=\alpha \dot{a_n}$ (2). Из уравнений (1) и (2) получаем не нормальный диффур а полную чепуху....

Подскажите, где у меня ошибка или недочет.

[reterty]

Кстати, выражение (1) можно получить проще и быстрее. Имеем: $ma_n=qvB$. Отсюда $a_n=qvB/m=\beta v$. Из последнего выражения немедленно получаем (1). Излучение частицы в данном случае носит название циклотронного.

-- Вт июн 11, 2019 20:45:17 --

Задача (на мой взгляд) интересна тем, что в ней используется временная производная от ускорения-рывок

[ihq.pl]

Если подходить формально, то непонятно насколько корректна эта запись:

reterty в сообщении #1398808 писал(а):

Имеем: $\dot{a_n}=\dot{(v^2/r)}$

(справа производная скалярной величины, слева - векторной). Но почему бы и нет, если движение плоское. Далее, вы пишете, что $\beta$ - константа, но не определяете её. Судя по вашим формулам, это норма вектора угловой скорости, причем, движение частицы происходит опять таки в плоскости, перпендикулярной этому вектору, т.е.

$$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = [\vec{\beta}, \vec{r}],$$

и соответственно

$$\dot{\vec{v}} = [\vec{\beta}, \dot{\vec{r}}] = [\vec{\beta}, [\vec{\beta}, \vec{r}]] = (\vec{\beta}, \vec{r})\vec{\beta} - (\vec{\beta}, \vec{\beta})\vec{r} = - |\vec{\beta}|^2\vec{r},$$

так как $(\vec{\beta}, \vec{r})=0$. В частности, отсюда следует, что касательная составляющая скорости равна нулю, соответственно, ускорения - тоже. Но тогда из вашего уравнения (2) следует, что $\alpha = 0$, что, наверно, должно чему-то противоречить. В общем, либо я что-то не понял, либо вам надо записать всё в векторном виде

[Ms-dos4]

reterty
Что мешает просто использовать уравнение (если у вас случай нерелятивистский)

$$m{{d\vec v} \over {dt}} = {e \over c}[\vec v,\vec H] + \alpha {{{d^2}\vec v} \over {d{t^2}}}$$

Во всяком случае последовательными приближениями решить его должно быть легко.
P.S. Вопрос адекватности такого уравнения - отдельная тема.

[reterty]

Допер! В нулевом приближении тангенциальное ускорение отсутствует, нормальное ускорение изменяется лишь по направлению. Поэтому рывок в этом приближении появляется лишь за счет изменения направления нормального ускорения. Рассматривая подобие треугольников (как при выводе центростремительного ускорения) для временной производной от вектора полного ускорения получим $v^3/r^2$. Подставляя это выражение в уравнение для касательного направления с учетом равенства $v=\omega r$, получим для скорости диффур с разделяющимися переменными. Откуда следует закон экспоненциального уменьшения скорости со временем. Далее выводим уравнение траектории. Интересно что оно представляет собою уравнение логарифмической спирали (пусть и с очень малым "коэффициентом затухания"). Интересно другое- тангенциальное ускорение точки в данной задаче направлено против скорости, тогда как рывок (а, следовательно, и сила радиационного трения) сонаправлены с вектором скорости (!!!)...

[reterty]

Ни черта не понимаю......Направление тангенциального ускорения я ввел "искусственно", исходя из того, что скорость излучающей частицы уменьшается со временем. Рывок и сила тормозного трения направлены оказались по направлению мгновенной скорости. Решение диффура (экспоненциальное затухание скорости со временем) дает разумный результат. А вот второй закон Ньютона нарушился! Ускорение (тангенциальное противоположно направлению касательной силы тормозного трения. Прошу помочь разрешить этот парадокс

[amon]

reterty в сообщении #1398991 писал(а):

А вот второй закон Ньютона нарушился! Прошу помочь разрешить этот парадокс

А чего бы ему не нарушаться, если у Вас в уравнении появилась третья производная по времени. Вообще, классическое радиационное трение - штука скользкая. Как сказано по этому поводу в одном хорошем учебнике: "В точной постановке это очень сложная задача, обсуждение которой (в частности, силы реакции излучения, ее влияние на траекторию и т. п.) в рамках данного курса невозможны. Это проблемы, находящиеся уже где-то на грани области применимости классической электродинамики. Их краткое обсуждение было бы профанацией, а подробное и серьезное - нецелесообразно при нашем отборе материала."

[Eule_A]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1399046 писал(а):

в одном хорошем учебнике

А.Н. Васильев "Классическая электродинамика. Краткий курс лекций"