2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение11.06.2019, 17:23 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Точечный заряд $q$ с массой $m$ движется перпендикулярно линиям однородного магнитного поля $B$. Считая движение квазиклассическим (кинетическая энергия частицы много больше энергии основного уровня Ландау) и квазистационарным и применяя выражение для силы радиационного трения определить временную звисимость $v(t)$ и уравнение траектории $r(\varphi)$. Начальная скорость частицы равна $v_0$.

Как известно, сила радиационного трения равна $\alpha \dot{\vec{a}}$ (здесь $\alpha$-константа). Условие квазистационарности предполагает, что сила радиационного трения много меньше силы Лоренца, обуславливющей сама по себе движение по окружности. Но тогда сила радиационного трения $\approx \alpha \dot{\vec{a_n}}$, где $a_n$-нормальное ускорение, и приближенно направлена по касательной к траектории противоположно мгновенной скорости частицы. Имеем: $\dot{a_n}=\dot{(v^2/r)}=\frac{2v\dot{v}}{r}-\frac{v^2\dot{r}}{r^2}$. Записывая уравнение движения для нормального направления, получим: $v=\beta r$, где $\beta$-константа (соответственно, $\dot{v}=\beta \dot{r}$). Тогда $\dot{a_n}=\beta\dot{v}$ (1). Запишем теперь уравнение для касательного направления: $m \dot{v}=\alpha \dot{a_n}$ (2). Из уравнений (1) и (2) получаем не нормальный диффур а полную чепуху....

Подскажите, где у меня ошибка или недочет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение11.06.2019, 19:35 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Кстати, выражение (1) можно получить проще и быстрее. Имеем: $ma_n=qvB$. Отсюда $a_n=qvB/m=\beta v$. Из последнего выражения немедленно получаем (1). Излучение частицы в данном случае носит название циклотронного.

-- Вт июн 11, 2019 20:45:17 --

Задача (на мой взгляд) интересна тем, что в ней используется временная производная от ускорения-рывок

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение11.06.2019, 19:48 


18/05/15
679
Если подходить формально, то непонятно насколько корректна эта запись:
reterty в сообщении #1398808 писал(а):
Имеем: $\dot{a_n}=\dot{(v^2/r)}$

(справа производная скалярной величины, слева - векторной). Но почему бы и нет, если движение плоское. Далее, вы пишете, что $\beta$ - константа, но не определяете её. Судя по вашим формулам, это норма вектора угловой скорости, причем, движение частицы происходит опять таки в плоскости, перпендикулярной этому вектору, т.е. $$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = [\vec{\beta}, \vec{r}],$$ и соответственно
$$\dot{\vec{v}} = [\vec{\beta}, \dot{\vec{r}}]  = [\vec{\beta}, [\vec{\beta}, \vec{r}]] = (\vec{\beta}, \vec{r})\vec{\beta} - (\vec{\beta}, \vec{\beta})\vec{r} =  - |\vec{\beta}|^2\vec{r},$$ так как $(\vec{\beta}, \vec{r})=0$. В частности, отсюда следует, что касательная составляющая скорости равна нулю, соответственно, ускорения - тоже. Но тогда из вашего уравнения (2) следует, что $\alpha = 0$, что, наверно, должно чему-то противоречить. В общем, либо я что-то не понял, либо вам надо записать всё в векторном виде :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение11.06.2019, 22:32 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
reterty
Что мешает просто использовать уравнение (если у вас случай нерелятивистский)
$$m{{d\vec v} \over {dt}} = {e \over c}[\vec v,\vec H] + \alpha {{{d^2}\vec v} \over {d{t^2}}}$$
Во всяком случае последовательными приближениями решить его должно быть легко.
P.S. Вопрос адекватности такого уравнения - отдельная тема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение12.06.2019, 08:40 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Допер! В нулевом приближении тангенциальное ускорение отсутствует, нормальное ускорение изменяется лишь по направлению. Поэтому рывок в этом приближении появляется лишь за счет изменения направления нормального ускорения. Рассматривая подобие треугольников (как при выводе центростремительного ускорения) для временной производной от вектора полного ускорения получим $v^3/r^2$. Подставляя это выражение в уравнение для касательного направления с учетом равенства $v=\omega r$, получим для скорости диффур с разделяющимися переменными. Откуда следует закон экспоненциального уменьшения скорости со временем. Далее выводим уравнение траектории. Интересно что оно представляет собою уравнение логарифмической спирали (пусть и с очень малым "коэффициентом затухания"). Интересно другое- тангенциальное ускорение точки в данной задаче направлено против скорости, тогда как рывок (а, следовательно, и сила радиационного трения) сонаправлены с вектором скорости (!!!)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение12.06.2019, 21:43 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Ни черта не понимаю......Направление тангенциального ускорения я ввел "искусственно", исходя из того, что скорость излучающей частицы уменьшается со временем. Рывок и сила тормозного трения направлены оказались по направлению мгновенной скорости. Решение диффура (экспоненциальное затухание скорости со временем) дает разумный результат. А вот второй закон Ньютона нарушился! Ускорение (тангенциальное противоположно направлению касательной силы тормозного трения. Прошу помочь разрешить этот парадокс

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение13.06.2019, 01:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
reterty в сообщении #1398991 писал(а):
А вот второй закон Ньютона нарушился! Прошу помочь разрешить этот парадокс
А чего бы ему не нарушаться, если у Вас в уравнении появилась третья производная по времени. Вообще, классическое радиационное трение - штука скользкая. Как сказано по этому поводу в одном хорошем учебнике: "В точной постановке это очень сложная задача, обсуждение которой (в частности, силы реакции излучения, ее влияние на траекторию и т. п.) в рамках данного курса невозможны. Это проблемы, находящиеся уже где-то на грани области применимости классической электродинамики. Их краткое обсуждение было бы профанацией, а подробное и серьезное - нецелесообразно при нашем отборе материала."

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача (помогите откорректировать решение)
Сообщение13.06.2019, 01:52 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237

(Оффтоп)

amon в сообщении #1399046 писал(а):
в одном хорошем учебнике
А.Н. Васильев "Классическая электродинамика. Краткий курс лекций"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group