2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 14:24 


23/02/12
1967
nnosipov в сообщении #1397526 писал(а):
vicvolf в
url=http://dxdy.ru/post1397456.html#p1397456]сообщении #1397456[/url]
писал(а):
Далее, используя формулы Виета, надо доказать отсутствие нетривиальных рациональных решений.
Как именно собираетесь доказывать? Вообще, доказательство отсутствия рациональных точек на эллиптической кривой (или, в более общем виде, доказательство того, что ранг этой кривой равен нулю) --- дело всегда непростое. Обычно элементарное рассуждение такого типа использует бесконечный спуск, что само по себе уже нетривиально.
Как я понял с элементарными методами - проблема! Поэтому покажу на данном уравнении, как с формулами Виета.
$x^3-6x+3y-2y^3=0$. Надо доказать, что данное уравнение не имеет нетривиальных рациональных решений.
Будем решать уравнение относительно $x$. Данное уравнение может иметь:
1. Один действительный корень - $c$ и два комплексно сопряженных - $a+bi,a-bi$.
2. Три действительных корня - $d,e,f$.
Рассмотрим 1 случай. Сумма корней: $c+a+bi+a-bi=c+2a=0$, поэтому $c=-2a$.
Сумма попарных произведений корней: $c(a+bi)+c(a-bi)+(a+bi)(a-bi=2ac+a^2+b^2=-6$, поэтому $a=+-\sqrt {b^2/3+2}$.
Используя первое уравнение получим : $c=-+2/3\sqrt {3b^2+18}$. Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом, поэтому $c$ - иррационально.
Аналогично рассматривается 2 случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 14:45 


26/08/11
1850
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом
А почему бы и нет? Кто-то сказал, что $b$ должно быть рациональным?
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$. Тоесть, что бы там ни было вместо $3y-2y^3$, рациональных решений нет и нет???

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 15:20 
Заслуженный участник


20/12/10
6230
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
Как я понял с элементарными методами - проблема!
Однако то, что Вы пытаетесь делать --- это и есть элементарные рассуждения. С очевидным результатом.
Shadow в сообщении #1398640 писал(а):
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$.
Формально $y$ спрятан в $a$, $b$, $c$. Но от этого, конечно, не легче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
$a=+-\sqrt {b^2/3+2}$
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
$c=-+2/3\sqrt {3b^2+18}$
Даже удивительно: за семь лет так и не удосужиться заглянуть в тему FAQ по тегу [mаth], чтобы посмотреть, как же кодируются символы "$\pm$" и "$\mp$"…

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 16:09 


23/02/12
1967
Shadow в сообщении #1398640 писал(а):
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом
А почему бы и нет? Кто-то сказал, что $b$ должно быть рациональным?

Согласен, $b$ может быть иррациональным.
Цитата:
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$.

Аналогично анализируется уравнение относительно $y$ - $c(a+bi)(a-bi)=c(a^2+b^2)=3y-2y^3$.

-- 10.06.2019, 16:12 --

nnosipov в сообщении #1398648 писал(а):
Однако то, что Вы пытаетесь делать --- это и есть элементарные рассуждения.
Я и пытался найти элементарные методы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 16:28 


26/08/11
1850
nnosipov в сообщении #1398648 писал(а):
Формально $y$ спрятан в $a$, $b$, $c$. Но от этого, конечно, не легче.

Конечно, но не в $y$ дело, а в свободном члене полинома от $x$. "Противоречие" был найдено при рассмотрении только $x_1+x_2+x_3$ и $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$
Дело вообще не дошло до $x_1x_2x_3$, тоетсь, при любой свободный член полином не имеет рациональных корней, что конечно полная ерунда и это должно насторожить автора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 21:37 


23/02/12
1967
Shadow в сообщении #1398640 писал(а):
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$. Тоесть, что бы там ни было вместо $3y-2y^3$, рациональных решений нет и нет???
Если $x$-иррационально, то решение иррационально независимо от $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение11.06.2019, 10:20 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
vicvolf, Вами доказано только, что если $3b^2+18$ не является полным квадратом, то рациональных решений у рассматриваемого уравнения нет. И всё.
Так что решения задачи таким методом Вам пока получить не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 06:58 


23/02/12
1967
scwecнадо доказать, что $b$ не может быть иррациональным. Для этого надо использовать формулу Виета для произведения корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 12:18 
Заслуженный участник


17/09/10
1878
vicvolf в сообщении #1398900 писал(а):
надо доказать, что $b$ не может быть иррациональным. Для этого надо использовать формулу Виета для произведения корней.

В данном случае необходимо предъявить доказательство этого факта, а не просто указания на способ решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 13:41 
Заслуженный участник


20/12/10
6230
scwec в сообщении #1398922 писал(а):
В данном случае необходимо предъявить доказательство этого факта, а не просто указания на способ решения.
Вот я тоже хотел что-то подобное написать, так что присоединяюсь. Ждем реализации озвученных заявленных намерений.

Вообще, отсутствие любых (как нетривиальных, так и тривиальных) рациональных точек на эллиптической кривой иногда можно доказать совсем просто --- рассматривая уравнение кривой по подходящему модулю. Пример: кривая, заданная уравнением $x^3+2y^3+4=0$. Но в случае с кривой $x^3-6x+3y-2y^3=0$ этот метод заведомо не годится, так как здесь есть тривиальная рациональная точка $(0,0)$. Самые простые примеры эллиптических кривых, имеющих только тривиальные рациональные точки (более точно: эллиптических кривых ранга ноль, но с непустым множеством рациональных точек) --- это, по-видимому, $y^2=x^3-x$ или $x^3+y^3=1$. Утверждение об отсутствии нетривиальных рациональных точек на этих кривых эквивалентно ВТФ для показателей 4 и 3 соответственно. Как известно, самое простое доказательство ВТФ для этих показателей апеллирует к бесконечному спуску. Как тут могут оказаться полезными формулы Виета --- загадка. (Подозреваю, что никак.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group