Среднее значение от периодической функции.

[antonio.troitsky]

Имеется задача.

Доказать, что для функции $f(t) = \sin(n\omega t)$ среднее значение определяемое за период $T$ как $<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$, в случаее когда $T \gg 2 \pi / \omega$, равно 0.

Не могу понять как брать интеграл в таких случаях. Скорее всего данное условия используется для преобразования к несобственному интегралу? Вопрос как это сделать?
Что придумал - это взять интеграл, а условие $T \gg 2 \pi / \omega$ рассмотреть как $T \to \infty$. У меня получилось так $\lim\limits_{T \to \infty} = \frac{\cos(n \omega t)}{ T } = 0$. Но это вариант какой-то сильно упрощенный и сомнительный, по-моему.

В принципе понятно, что интеграл сходится, только не абсолютно, но не совсем понятно, как использовать подобные условия $T \gg 2 \pi / \omega$ для взятия интеграла.

Есть у какие-нибудь идеи?

[Red_Herring]

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

Есть у какие-нибудь идеи?

1) Проверьте пределы интегрирования

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

равно 0

Нет, не равно, а стремится к $0$ при $T\to \infty$.

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

В принципе понятно, что интеграл сходится, только не абсолютно

В принципе понаятно, что несобственных интегралов вы не знаете (от слова "совсем"), но эта задача никакого отношения к ним не имеет.

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

и сомнительный,

Как раз правильный

[antonio.troitsky]

Red_Herring в сообщении #1398631 писал(а):

Как раз правильный

Так как надо действовать? Предположение: Берем определенный интеграл, потому подставляем пределы интегрирования(по формуле Ньютона-Лейбница), рассматриваем предел при условии $T \gg 2 \pi / \omega$ ?

Т.е.

$$ \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt \sin(n \omega t) = -\frac{\cos(n \omega t)}{T} |_0^T = -\frac{\cos(n \omega T )}{T} +\frac{1}{T}$$

Не совсем понятно какие предположения надо использовать дальше? Если рассматривать предел при $ T \to \infty$, то в числителе в этом случае функция не определена, но ее значение ограничено,
тогда дробь стремится к нулю. Что тогда происходит со второй дробью?

Red_Herring в сообщении #1398631 писал(а):

В принципе понаятно, что несобственных интегралов вы не знаете (от слова "совсем"), но эта задача никакого отношения к ним не имеет.

Что не так, можете пояснить?

[Pphantom]

antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):

Что тогда происходит со второй дробью?

А зачем вам две дроби? Приведите к общему знаменателю и учтите, что числитель - ограниченная функция, а знаменатель неограниченно растет.

[ewert]

antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):

в числителе в этом случае функция не определена, но ее значение ограничено,
тогда дробь стремится к нулю. Что тогда происходит со второй дробью?

А функция $1$ -- не является случайно тоже ограниченной?

Ну и, кстати: хоть это и не важно, но интегрировать желательно всё-таки правильно.

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

среднее значение определяемое за период $T$ как $<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$, в случаее когда $T \gg 2 \pi / \omega$, равно 0.

antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):

рассматриваем предел при условии $T \gg 2 \pi / \omega$ ?

Подозреваю, что это не лично Ваша безграмотность. Любопытно: чья?...

[ihq.pl]

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

$\lim\limits_{T \to \infty} = \frac{\cos(n \omega t)}{ T } = 0$. Но это вариант какой-то сильно упрощенный и сомнительный, по-моему

не то что бы сомнительный. Я бы сказал, что он ни откуда не следует. В подобных случаях $T$ лучше представлять в виде

$$nT = (k+\delta)\tau, \quad k \in \mathbb{N}, \quad 0 \le \delta < 1,$$

где $\tau = 2\pi/\omega$.

[Red_Herring]

antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):

рассматриваем предел при условии $T \gg 2 \pi / \omega$ ?

А это что за зверь? Есть предел при $T\to \infty$.

ihq.pl в сообщении #1398645 писал(а):

Я бы сказал, что он ни откуда не следует.

Следует.

[ihq.pl]

Red_Herring в сообщении #1398654 писал(а):

Следует.

и откуда? Что такое $\cos(n\omega t)$ в выражении

$$\lim \frac{\cos (n\omega t)}{T}?$$

На первообразную ф-ии $\sin(n\omega t)$ не тянет. Да и при чем здесь она, если речь об определенном интеграле?

[Red_Herring]

ihq.pl в сообщении #1398658 писал(а):

и откуда? Что такое $\cos(n\omega t)$ в выражении

Он исправил свою ошибку до вашего поста.

[EUgeneUS]

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

Доказать, что для функции $f(t) = \sin(n\omega t)$ среднее значение определяемое за период $T$ как $<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$, в случаее когда $T \gg 2 \pi / \omega$, равно 0.

Мне одному кажется, что слово "период", применительно к периодической функции, означает "период функции", а не "какой-то промежуток в области определения"?

[ihq.pl]

EUgeneUS в сообщении #1398723 писал(а):

Мне одному кажется, что слово "период", применительно к периодической функции, означает "период функции"

видимо это и подразумевалось. На это указывает знак тождественности в условии задачи, т.е. $<f> \equiv 0$. Но с другой стороны в это же трудно поверить

[ewert]

ihq.pl в сообщении #1398733 писал(а):

На это указывает знак тождественности в условии задачи, т.е. $<f> \equiv 0$.

А там не было такого "знака". И это, наверное, как раз единственное, что в стартовом посте выписано внятно. Во всём остальном -- сплошная сумятица. Не исключено, что и нарочитая.

Поэтому нет никакого смысла придираться к отдельным деталям. Ну подумаешь, употребил слово "период" вместо "промежуток". Подумаешь, проинтегрировал неверно. Какое это имеет значение -- на фоне всей совокупности?...

[ihq.pl]

ewert в сообщении #1398742 писал(а):

А там не было такого "знака"

Если что, знаком тождественности я назвал вот это: "$\equiv$". Для меня "оно" всегда означало "равенство при любых значениях переменной", и в этом смысле к выражению

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):

$<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$

не придраться, согласен.

[ewert]

ihq.pl в сообщении #1398744 писал(а):

не придраться

Вот именно. Там сперва дано совершенно чёткое (не считая слова "период") определение того, что понимается под средним значением. И лишь потом разгильдяйски заявлено, что оно равно нулю. Однако при всём разгильдяйстве равенство -- вовсе не то же самое, что тождество.

[ihq.pl]

ewert в сообщении #1398746 писал(а):

Вот именно

К формуле $ l \equiv 2\pi r$ для длины окружности тоже не придраться: левое равно правому при любых $r$ .