2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 13:41 


25/04/12
42
Имеется задача.

Доказать, что для функции $f(t) = \sin(n\omega t)$ среднее значение определяемое за период $T$ как $<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$, в случаее когда $T \gg 2 \pi / \omega$, равно 0.

Не могу понять как брать интеграл в таких случаях. Скорее всего данное условия используется для преобразования к несобственному интегралу? Вопрос как это сделать?
Что придумал - это взять интеграл, а условие $T \gg 2 \pi / \omega$ рассмотреть как $T \to \infty$. У меня получилось так $\lim\limits_{T \to \infty} = \frac{\cos(n \omega t)}{ T } = 0$. Но это вариант какой-то сильно упрощенный и сомнительный, по-моему.

В принципе понятно, что интеграл сходится, только не абсолютно, но не совсем понятно, как использовать подобные условия $T \gg 2 \pi / \omega$ для взятия интеграла.

Есть у какие-нибудь идеи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
Есть у какие-нибудь идеи?

1) Проверьте пределы интегрирования
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
равно 0

Нет, не равно, а стремится к $0$ при $T\to \infty$.
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
В принципе понятно, что интеграл сходится, только не абсолютно

В принципе понаятно, что несобственных интегралов вы не знаете (от слова "совсем"), но эта задача никакого отношения к ним не имеет.
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
и сомнительный,

Как раз правильный

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 14:28 


25/04/12
42
Red_Herring в сообщении #1398631 писал(а):
Как раз правильный


Так как надо действовать? Предположение: Берем определенный интеграл, потому подставляем пределы интегрирования(по формуле Ньютона-Лейбница), рассматриваем предел при условии $T \gg 2 \pi / \omega$ ?

Т.е. $$ \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt \sin(n \omega t) = -\frac{\cos(n \omega t)}{T} |_0^T =  -\frac{\cos(n \omega T )}{T} +\frac{1}{T}$$

Не совсем понятно какие предположения надо использовать дальше? Если рассматривать предел при $ T \to \infty$, то в числителе в этом случае функция не определена, но ее значение ограничено,
тогда дробь стремится к нулю. Что тогда происходит со второй дробью?

Red_Herring в сообщении #1398631 писал(а):
В принципе понаятно, что несобственных интегралов вы не знаете (от слова "совсем"), но эта задача никакого отношения к ним не имеет.

Что не так, можете пояснить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 14:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):
Что тогда происходит со второй дробью?
А зачем вам две дроби? Приведите к общему знаменателю и учтите, что числитель - ограниченная функция, а знаменатель неограниченно растет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 14:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):
в числителе в этом случае функция не определена, но ее значение ограничено,
тогда дробь стремится к нулю. Что тогда происходит со второй дробью?

А функция $1$ -- не является случайно тоже ограниченной?

Ну и, кстати: хоть это и не важно, но интегрировать желательно всё-таки правильно.

antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
среднее значение определяемое за период $T$ как $<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$, в случаее когда $T \gg 2 \pi / \omega$, равно 0.
antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):
рассматриваем предел при условии $T \gg 2 \pi / \omega$ ?

Подозреваю, что это не лично Ваша безграмотность. Любопытно: чья?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 14:55 


18/05/15
679
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
$\lim\limits_{T \to \infty} = \frac{\cos(n \omega t)}{ T } = 0$. Но это вариант какой-то сильно упрощенный и сомнительный, по-моему

не то что бы сомнительный. Я бы сказал, что он ни откуда не следует. В подобных случаях $T$ лучше представлять в виде $$nT = (k+\delta)\tau, \quad k \in \mathbb{N}, \quad 0 \le \delta < 1,$$ где $\tau = 2\pi/\omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 15:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
antonio.troitsky в сообщении #1398636 писал(а):
рассматриваем предел при условии $T \gg 2 \pi / \omega$ ?
А это что за зверь? Есть предел при $T\to \infty$.
ihq.pl в сообщении #1398645 писал(а):
Я бы сказал, что он ни откуда не следует.
Следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 16:11 


18/05/15
679
Red_Herring в сообщении #1398654 писал(а):
Следует.

и откуда? Что такое $\cos(n\omega t)$ в выражении $$\lim \frac{\cos (n\omega t)}{T}?$$
На первообразную ф-ии $\sin(n\omega t)$ не тянет. Да и при чем здесь она, если речь об определенном интеграле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение10.06.2019, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
ihq.pl в сообщении #1398658 писал(а):
и откуда? Что такое $\cos(n\omega t)$ в выражении

Он исправил свою ошибку до вашего поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение11.06.2019, 06:39 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
Доказать, что для функции $f(t) = \sin(n\omega t)$ среднее значение определяемое за период $T$ как $<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$, в случаее когда $T \gg 2 \pi / \omega$, равно 0.


Мне одному кажется, что слово "период", применительно к периодической функции, означает "период функции", а не "какой-то промежуток в области определения"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение11.06.2019, 10:45 


18/05/15
679
EUgeneUS в сообщении #1398723 писал(а):
Мне одному кажется, что слово "период", применительно к периодической функции, означает "период функции"

видимо это и подразумевалось. На это указывает знак тождественности в условии задачи, т.е. $<f> \equiv 0$. Но с другой стороны в это же трудно поверить

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение11.06.2019, 11:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ihq.pl в сообщении #1398733 писал(а):
На это указывает знак тождественности в условии задачи, т.е. $<f> \equiv 0$.

А там не было такого "знака". И это, наверное, как раз единственное, что в стартовом посте выписано внятно. Во всём остальном -- сплошная сумятица. Не исключено, что и нарочитая.

Поэтому нет никакого смысла придираться к отдельным деталям. Ну подумаешь, употребил слово "период" вместо "промежуток". Подумаешь, проинтегрировал неверно. Какое это имеет значение -- на фоне всей совокупности?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение11.06.2019, 12:07 


18/05/15
679
ewert в сообщении #1398742 писал(а):
А там не было такого "знака"

Если что, знаком тождественности я назвал вот это: "$\equiv$". Для меня "оно" всегда означало "равенство при любых значениях переменной", и в этом смысле к выражению
antonio.troitsky в сообщении #1398628 писал(а):
$<f(t)>\equiv \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} dt f(t)$

не придраться, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение11.06.2019, 12:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ihq.pl в сообщении #1398744 писал(а):
не придраться

Вот именно. Там сперва дано совершенно чёткое (не считая слова "период") определение того, что понимается под средним значением. И лишь потом разгильдяйски заявлено, что оно равно нулю. Однако при всём разгильдяйстве равенство -- вовсе не то же самое, что тождество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее значение от периодической функции.
Сообщение11.06.2019, 12:29 


18/05/15
679
ewert в сообщении #1398746 писал(а):
Вот именно

К формуле $ l \equiv 2\pi r$ для длины окружности тоже не придраться: левое равно правому при любых $r$ :D.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group