2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 14:24 


23/02/12
1927
nnosipov в сообщении #1397526 писал(а):
vicvolf в
url=http://dxdy.ru/post1397456.html#p1397456]сообщении #1397456[/url]
писал(а):
Далее, используя формулы Виета, надо доказать отсутствие нетривиальных рациональных решений.
Как именно собираетесь доказывать? Вообще, доказательство отсутствия рациональных точек на эллиптической кривой (или, в более общем виде, доказательство того, что ранг этой кривой равен нулю) --- дело всегда непростое. Обычно элементарное рассуждение такого типа использует бесконечный спуск, что само по себе уже нетривиально.
Как я понял с элементарными методами - проблема! Поэтому покажу на данном уравнении, как с формулами Виета.
$x^3-6x+3y-2y^3=0$. Надо доказать, что данное уравнение не имеет нетривиальных рациональных решений.
Будем решать уравнение относительно $x$. Данное уравнение может иметь:
1. Один действительный корень - $c$ и два комплексно сопряженных - $a+bi,a-bi$.
2. Три действительных корня - $d,e,f$.
Рассмотрим 1 случай. Сумма корней: $c+a+bi+a-bi=c+2a=0$, поэтому $c=-2a$.
Сумма попарных произведений корней: $c(a+bi)+c(a-bi)+(a+bi)(a-bi=2ac+a^2+b^2=-6$, поэтому $a=+-\sqrt {b^2/3+2}$.
Используя первое уравнение получим : $c=-+2/3\sqrt {3b^2+18}$. Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом, поэтому $c$ - иррационально.
Аналогично рассматривается 2 случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 14:45 


26/08/11
1820
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом
А почему бы и нет? Кто-то сказал, что $b$ должно быть рациональным?
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$. Тоесть, что бы там ни было вместо $3y-2y^3$, рациональных решений нет и нет???

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 15:20 
Заслуженный участник


20/12/10
6063
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
Как я понял с элементарными методами - проблема!
Однако то, что Вы пытаетесь делать --- это и есть элементарные рассуждения. С очевидным результатом.
Shadow в сообщении #1398640 писал(а):
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$.
Формально $y$ спрятан в $a$, $b$, $c$. Но от этого, конечно, не легче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16823
Москва

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
$a=+-\sqrt {b^2/3+2}$
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
$c=-+2/3\sqrt {3b^2+18}$
Даже удивительно: за семь лет так и не удосужиться заглянуть в тему FAQ по тегу [mаth], чтобы посмотреть, как же кодируются символы "$\pm$" и "$\mp$"…

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 16:09 


23/02/12
1927
Shadow в сообщении #1398640 писал(а):
vicvolf в сообщении #1398635 писал(а):
Выражение $3b^2+18$ не является полным квадратом
А почему бы и нет? Кто-то сказал, что $b$ должно быть рациональным?

Согласен, $b$ может быть иррациональным.
Цитата:
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$.

Аналогично анализируется уравнение относительно $y$ - $c(a+bi)(a-bi)=c(a^2+b^2)=3y-2y^3$.

-- 10.06.2019, 16:12 --

nnosipov в сообщении #1398648 писал(а):
Однако то, что Вы пытаетесь делать --- это и есть элементарные рассуждения.
Я и пытался найти элементарные методы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 16:28 


26/08/11
1820
nnosipov в сообщении #1398648 писал(а):
Формально $y$ спрятан в $a$, $b$, $c$. Но от этого, конечно, не легче.

Конечно, но не в $y$ дело, а в свободном члене полинома от $x$. "Противоречие" был найдено при рассмотрении только $x_1+x_2+x_3$ и $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$
Дело вообще не дошло до $x_1x_2x_3$, тоетсь, при любой свободный член полином не имеет рациональных корней, что конечно полная ерунда и это должно насторожить автора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение10.06.2019, 21:37 


23/02/12
1927
Shadow в сообщении #1398640 писал(а):
Вообще, вас не смущает тот факт, что в вашем "решении" не участвует $y$. Тоесть, что бы там ни было вместо $3y-2y^3$, рациональных решений нет и нет???
Если $x$-иррационально, то решение иррационально независимо от $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение11.06.2019, 10:20 
Заслуженный участник


17/09/10
1865
vicvolf, Вами доказано только, что если $3b^2+18$ не является полным квадратом, то рациональных решений у рассматриваемого уравнения нет. И всё.
Так что решения задачи таким методом Вам пока получить не удалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 06:58 


23/02/12
1927
scwecнадо доказать, что $b$ не может быть иррациональным. Для этого надо использовать формулу Виета для произведения корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 12:18 
Заслуженный участник


17/09/10
1865
vicvolf в сообщении #1398900 писал(а):
надо доказать, что $b$ не может быть иррациональным. Для этого надо использовать формулу Виета для произведения корней.

В данном случае необходимо предъявить доказательство этого факта, а не просто указания на способ решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два диофантова уравнения
Сообщение12.06.2019, 13:41 
Заслуженный участник


20/12/10
6063
scwec в сообщении #1398922 писал(а):
В данном случае необходимо предъявить доказательство этого факта, а не просто указания на способ решения.
Вот я тоже хотел что-то подобное написать, так что присоединяюсь. Ждем реализации озвученных заявленных намерений.

Вообще, отсутствие любых (как нетривиальных, так и тривиальных) рациональных точек на эллиптической кривой иногда можно доказать совсем просто --- рассматривая уравнение кривой по подходящему модулю. Пример: кривая, заданная уравнением $x^3+2y^3+4=0$. Но в случае с кривой $x^3-6x+3y-2y^3=0$ этот метод заведомо не годится, так как здесь есть тривиальная рациональная точка $(0,0)$. Самые простые примеры эллиптических кривых, имеющих только тривиальные рациональные точки (более точно: эллиптических кривых ранга ноль, но с непустым множеством рациональных точек) --- это, по-видимому, $y^2=x^3-x$ или $x^3+y^3=1$. Утверждение об отсутствии нетривиальных рациональных точек на этих кривых эквивалентно ВТФ для показателей 4 и 3 соответственно. Как известно, самое простое доказательство ВТФ для этих показателей апеллирует к бесконечному спуску. Как тут могут оказаться полезными формулы Виета --- загадка. (Подозреваю, что никак.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group