Отыскание функций f(nx)=n^a*f(x)

[id]

e7e5
Посмотрите, например, на $f(nx)$=$n^2$$f(x)$

Проведите точно таким же образом, как в решении Someone анализ, посмотрите на результат.

[e7e5]

id Так в этом случае такой же ответ получается

А я хочу изменить условие задачи так, чтобы кроме прямых получились еще какие-нибудь функции

[ИСН]

Так-таки такой же?

[id]

e7e5
Что-то не похоже, что такой же.

P.S. Удобнее вообще сразу рассматривать условия вида $f(nx)$=$n^\alpha$$f(x)$, решения все равно одинаковые.

P.P.S. А чтобы просто и сразу много разнотипных решений можно подумать над чем-нибудь вроде
$(f(nx)-nf(x))(f(nx)-n^2f(x))\equiv 0$

[e7e5]

Полагаем $a=f(1)$.
Тогда $n^2*f\left(\frac 1n\right)=f\left(n\cdot\frac 1n\right)=f(1)=a$, поэтому $f\left(\frac 1n\right)=a/n^2$.

$f\left(\frac mn\right)=m^2*f\left(\frac 1n\right)=a\cdotm^2/n^2$ (везде $m,n\in\mathbb N$).

Таким образом, для всех рациональных $x>0$ получилось $f(x)=ax^2$. Так?

[e7e5]

id писал(а):

P.S. Удобнее вообще сразу рассматривать условия вида $f(nx)$=$n^\alpha$$f(x)$, решения все равно одинаковые.

Для $\alpha$=$1$ показали:

$f(0)$=0
$nf'(nx)$=$nf'(x)$,
$f'(nx)$=$f'(x)$, смотрим к чему стремится $x/n^l$ при $l$ стремящемся к бесконечности, - к нулю: $f'(0)$=$f'(x)$

$\alpha$=$2$: $f'(nx)$=$n^2$$f'(x)$,
$f'(nx)$=$n$$f'(x)$, если сделать подстановку $y(x)=$f'(x)$, то
$y(nx)=$n$y(x)$ - аналогично предыдущему шагу - прямая, от прямой - получим параболу, и.т.д степенные функции? Как то с производными более понятно

[e7e5]

id писал(а):

P.P.S. А чтобы просто и сразу много разнотипных решений можно подумать над чем-нибудь вроде
$(f(nx)-nf(x))(f(nx)-n^2f(x))\equiv 0$

Или
$f(nx)-nf(x)=0$ (1), или

$f(nx)-n^2f(x)=0$ (2) , правильно? Можно такое заключение сделать?

Если да, то для (1) получаем серию прямых, (2) - парабол, по выше приведенному анализу?