Не надо доказывать, что производная везде одинаковая.
Здесь тоже на

можно определить. Полагаем

. Тогда

, поэтому

. Отсюда

(везде

). Таким образом, для всех рациональных

получилось

. Если функция непрерывна, то получаем

для всех действительных

.
Теперь полагаем

и так же доказываем, что

для всех действительных

.
Чтобы доказать равенство

, достаточно существования производной в точке

.
Поэтому в задаче достаточно существования производной во всех точках (без непрерывности) или непрерывности самой функции во всех точках и существования производной в нуле.