Метод итераций для СЛАУ Анализ сходимости

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1398362 писал(а):

Метод простых итераций работает в двух стандартных ситуациях: если есть диагональное преобладание или если матрица положительна. Оба варианта взяты отнюдь не с потолка -- если одно или другое в приложениях появляется, то по вполне принципиальным причинам, и появляется достаточно часто.

Кстати, а можете рассказать подробнее? В каких типичных приложениях появляются системы с положительными матрицами и в каких - системы с матрицами с диагональным преобладанием?

[ewert]

Типичный (и важный) случай положительных матриц -- это матрицы разностных операторов, аппроксимирующих краевые задачи для эллиптических уравнений в частных производных. Они положительны просто потому, что положительны исходные дифференциальные операторы; последние же положительны по принципиальным причинам физического характера. И соответствующие СЛАУ стандартно решаются именно итерационными методами. Правда, более продвинутыми (например, методом релаксации), поскольку простые итерации сходятся слишком медленно -- там как раз очень большие числа обусловленности (типично -- десятки или сотни тысяч).

Про диагональное преобладание примеров так сходу не приведу. Разве что система уравнений для построения глобального кубического сплайна. У неё диагональное преобладание есть и очень сильное (грубо говоря, каждый диагональный элемент вдвое больше суммы остальных вдоль строки или столбца). Но для этих систем итерации не нужны, т.к. их матрицы трёхдиагональны и к тому же обычно не слишком большого размера.