Произвольная кривая

[Amigo]

Всякая ли произвольным образом начерченная непрерывная кривая обладающая
свойством , что всякая прямая паралеленая оси ординат имеет с данной кривой
одну единственную точку ,допускает аналитическое представление?

[незваный гость]

Если область определения функции связна, то функция монотонна на области определения.

Я не вполне понимаю, что Вы имеете в виду под "аналитическим представлением", но ответ на Ваш вопрос скорее всего отрицательный.

Рассмотрите f(x) = x при x <= 0, f(x) = 2 x при x >= 0.

Виноват, поспешил с монотонностью . Спутал оси абцисс и ординат . Непрерывная функция, пересекающаяся с прямыми паралельными оси абцисс не более, чем однажды -- монотонна. Непрерывная кривая, пересекающаяся с прямыми паралельными оси ординат не более, чем однажды -- функция.

[shwedka]

незванный гость Не так уж плохо

$f(x)=\frac32 x+\frac12 |x| $

[незваный гость]

shwedka писал(а):

незванный гость Не так уж плохо
$f(x)=\frac32 x+\frac12 |x| $

Что такое -- аналитически? Я привел пример не дифференцируемости (аналитичность в смысле комплексного продолжения). Если Вы считаете -- выражением через элементарные функции -- возьмите $\zeta(1+{\rm e}^x)$ Римана. Неужто мало монотонных трансцедентных функций?

[shwedka]

незванный гость писал(а):

Я привел пример не дифференцируемости (аналитичность в смысле комплексного продолжения). Если Вы считаете -- выражением через элементарные функции -- возьмите $\zeta(1+{\rm e}^x)$ Римана. Неужто мало монотонных трансцедентных функций?

Знаете, дифференцируемость, и даже бесконечная, не обеспечивает аналитичности в смысле комплексного продолжения. При детях надо точно выражаться.

[Amigo]

Просто в одном из учебников "Уравнения в частных производных" (автора не помню)
в разделе где рассматривалась задача о колебании струны была историческая
справка о Эйлере и Даламбере, где в часности рассказывалось об ихней дискуссии
по поводу того "что правильно считать функцией" . Даламбер считал ,что функция
это произвольным образам начерченная кривая , а Эйлер что сущность функции
в её аналитическом представлении. Далее там рассказывалось о том ,что впоследствии
математики выяснили что оба подхода в "некотором смысле" эквивалентны.

По скольку я не имею никакого представления о том ,что значит в "некотором смысле эквивалентны" я сформулировал задачу так как изложенно выше.

Под аналитическим представлением я понимаю некотурую формулу.

Меня вобщемто интерисует вопрос о функциях которые задаются ЕДИНОЙ формулой,
то есть без использования логически связок (Если P то Q ).

[незваный гость]

shwedka писал(а):

Знаете, дифференцируемость, и даже бесконечная, не обеспечивает аналитичности в смысле комплексного продолжения.

Не буду с этим спорить, поскольку обратное верно -- недифференцируемость обеспечивает неаналитичность.

[shwedka]

Цитата:

Далее там рассказывалось о том ,что впоследствии
математики выяснили что оба подхода в "некотором смысле" эквивалентны.

Выражения такого типа-беллетристика, пока такие слова не наполнены смыслом. А великие люди 18 века были очень крепки в сочинении формул, но считали точный язык неджигитским делом.
Я бы не рискнула на такой эквивалентности, в каком бы то ни было смысле, настаивать. даже если определять точно (конечно, не до такой степени, как наш хвостатый друг КОТОФЕИЧ -- тогда уж точно ничего путного не докажешь)

Цитата:

Меня вобщемто интерисует вопрос о функциях которые задаются ЕДИНОЙ формулой,
то есть без использования логически связок (Если P то Q ).

Если покумекать, ,то очень многое, что задается логическими связками, которых Вы сторонитесь,
можно выразить через минимальный набор элементарных функций (степенные, показательные, логарифмы, тригонометричаские и обратные тригонометрические), арифметические действия над ними и суперпозицию.
Вот нелюбимый незванный гость-ем модуль |x| можно так записать,

$|x|= \sqrt{x^2}$

[незваный гость]

А уж если суммы функциональных рядов добавить -- совсем много можно выразить. А чем сумма $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}$ не формула? Или $\int\limits_{0}^{\infty}x^{a-1}{\rm e}^x {\rm d}x$? Или решение какого-либо дифура?

Замечу, что к модулю я равнодушен. Пользуюсь, когда уместно, не пользуюсь, когда неуместно. Элементарной функцией считаю, дифференцируемой -- нет. В частности, уравнение $x^2 - 3 |x| + 2 = 0$ решать умею, но алгебраическим не считаю. Уж не обессудьте.

[Amigo]

Прошу прошения , что отрывал Вас от важных дел но ответ я только
что обнаружил.

Кому интересно:
Г.М. Фихтенгольц "Основы математического анализа"
том 2 страница 101 . Москва 1956 г.

[Amigo]

Специально для shwedka- вопрос решён положительно.