Симплектическая замена координат

[pogulyat_vyshel]

Вещественнозначная функция $f$ определена в окрестности нуля пространства $\mathbb{R}^2=\{(x,y)\}$ и вещественно аналитична в нуле (продолжается в некоторую область пространства $\mathbb{C}^2$ как голоморфная в нуле функция). Кроме того: $df(0)=0$; знаки собственных чисел матрицы $d^2f(0)$ различны.

Доказать, что в окрестности нуля $$\mathbb{R}^2$ существует вещественно аналитическая замена координат $(x,y)\mapsto (X,Y)$ такая, что
1) $(x,y)=0\Longleftrightarrow (X,Y)=0$
2) $dx\wedge dy=dX\wedge dY$
3) в новых координатах функция $f$ зависит лишь от произведения $XY:\quad f=g(\xi),\quad \xi=XY$.

[пианист]

(Оффтоп)

А в чем засада?
2 условие - первое уравнение, равенство 1 якобиана.
Дальше выражаем "маленькие" переменные через $XY$ и, например, $X+Y$ и пишем независимость Вашей функции от суммы. Второе уравнение.
Вроде как нормально определённая система.

Ой. Прошу прощения, не обратил внимания, в каком разделе..

[pogulyat_vyshel]

пианист в сообщении #1397248 писал(а):

Дальше выражаем "маленькие" переменные через $XY$ и, например, $X+Y$

а разве якобиан такого преобразования не обращается в 0 в нуле?

[пианист]

Да, был не прав.
Еще раз извиняюсь.

[scwec]

Хотел ответить Padawan по поводу исходной задачи и теории Морса. Пока сочинял, сообщение его удалилось.
Не пропадать же тексту.
Для гладкого многообразия $M^n$ и гладкой функции $f$ на нём, имеет место лемма Морса, которая гласит, что
в некоторой окрестности критической невырожденной точки $p$ (гессиан $f$ невырожден) в специально выбранной локальной системе координат $y^1,y^2,...,y^n$, где $y^i(p)=0$ имеет место тождество $f=f(p)+(y^1)^2+(y^2)^2+...+(y^k)^2-(y^{k+1})^2-...-(y^n)^2$, где $k$ - индекс $f$ в точке $p$.
Для случая $n=2$ и разных знаках собственных чисел гессиана $f=f(p)+(y^1)^2-(y^2)^2=f(p)+XY$, где $X=y^1+y^2, Y=y^1-y^2$.

[Padawan]

scwec в сообщении #1397564 писал(а):

Хотел ответить Padawan по поводу исходной задачи и теории Морса. Пока сочинял, сообщение его удалилось.

Я там чушь написал, так как забыл про условие

pogulyat_vyshel в сообщении #1397242 писал(а):

$dx\wedge dy=dX\wedge dY$

[DeBill]

1. Можно сделать по "общей теории"...Пусть $v$ - гамильтоново векторное поле с гамильтонианом $f$, тогда поле это - с нулевой дивергенцией. Из условий задачи следует, что его особая точка 0 - невырождена, седловая. По теореме Брюно (1972, конец статьи про гамильтоновы векторные поля) поле $v$ приводится к резонансной гамильтоновой нормальной форме $v_0$ формальным каноническим преобразованием (и оно будет аналитическим , ибо выполняется "условие А" Брюно. А можно сослаться на теорему Рюссмана, которая приводится там же. Или на следствие из нее, там же, стр. 228. Про наш случай там сказано, что это сделал Ляпунов в 1892). При этом старый гамильтониан станет (в новых координатах $(X,Y)$) "резонансным" - т.е., будет зависеть лишь от резонансной переменной $U=XY$, что и требовалось.
Но так - неинтересно. А интересно - ручками...

-- 07.06.2019, 02:11 --

2. Задача фактически состоит в одновременной нормализации пары $(f,\omega_0)$, где $\omega_0 = dx \wedge dy$ - стандартная симплектическая структура. Выше scwec нормализовал компоненту $f$ - по лемме Морса привел ее к виду $f=xy$ (но испортил симплектическую структуру. Пусть она стала равной $\omega = G(x,y)\omega_0$, G(0,0)$\ne 0$ ). Будем искать замену $(X,Y)= H(x,y)$ , исправляющую с.с. ,в виде $H=H_2\circ H_1$, где $H_1(x,y)= (xk,\frac{y}{k}), H_2(x,y)=(xQ,yQ)$, $k=e^K,K=K(x,y), Q=Q(u), u=xy$ (первая переводит гиперболы - линии уровня $f$ - в себя, вторая - переставляет их ). Якобиан этой замены (считаем явно) равен

$Z(u)(1+xK'_x-yK'_y)$, $~~~~~(*)$

где

$Z(u)=Q^2 +2uQQ'= (uQ^2)'$. $~~~~~~~(**)$

С.с. поправится, если это произведение $(*)$ равно $G$.
Разложим аналитическую функцию $G$ в ряд $G=\sum\limits_{m,n\geqslant 0}^{} G_{m,n}x^my^n$, и разобьем сумму на два слагаемых $G=G_+ + G_-$: в первую сумму
включим мономы, для которых $m=n$, во вторую - остальные. Полагая $Z=G_+$, из $(**)$, интегрируя, найдем $Q, Q(0)\ne 0 $. Заметим, что для частного $B=\frac{G}{Z}=\frac{G}{G_+}$ справедливо $B_+=1$. Поэтому уравнение $(*)$ (приравняем якобиан к $G$) сводится к уравнению $xK'_x - yK'_y = B_-$, которое явно решается:
если $B_- = \sum\limits_{m\ne n}{} B_{m,n}x^my^n$, то $K=\sum\limits_{m\ne n}^{} \frac{B_{m,n}}{m-n} x^my^n$ (деление не попортило радиуссы сходимости )

Уф, с.с. исправлена. Осталось заметить, что (специфический вид замены) в новых координатах $f$ как раз и будет равна $Q^2$ (да?), и будет зависить лишь от $XY$. Всё!

[pogulyat_vyshel]

Здорово!

DeBill в сообщении #1398190 писал(а):

Можно сделать по "общей теории"...Пусть $v$ - гамильтоново векторное поле с гамильтонианом $f$, тогда поле это - с нулевой дивергенцией. Из условий задачи следует, что его особая точка 0 - невырождена, седловая. По теореме Брюно (1972, конец статьи про гамильтоновы векторные поля) поле $v$ приводится к резонансной гамильтоновой нормальной форме $v_0$ формальным каноническим преобразованием (и оно будет аналитическим , ибо выполняется "условие А" Брюно. А можно сослаться на теорему Рюссмана, которая приводится там же. Или на следствие из нее, там же, стр. 228. Про наш случай там сказано, что это сделал Ляпунов в 1892

На удивление богатая история у столь бесполезного факта. Я ничего этого не знал. Но зато я знаю теорему Мозера:
Если аналитическая $2\pi-$периодическая по времени гамильтонова система $H(t,x,y)$ имеет $2\pi-$периодическое гиперболическое решение, то в окрестности этого решения существует аналитическая, $2\pi-$периодическая по $t$ каноническая замена координат $(t,x,y)\mapsto (t,X,Y)$ такая, что в новых координатах система имеет гамильтониан $\mathcal H=\mathcal H(X\cdot Y)$, ну и периодическое решение, соответственно имеет вид $X(t)=Y(t)=0$.
Если более-мененее внимательно пройтись по доказательству результата Мозера, то становится понятно, что и автономная версия должна иметь место.

-- 07.06.2019, 14:37 --

DeBill в сообщении #1398190 писал(а):

о $K=\sum\limits_{m\ne n}^{} \frac{B_{m,n}}{m-n} x^my^n$ (де

и, что характерно, никаких малых знаменателей:)