Группа ISO(1, 1)

[qweqwe2017]

Здравствуйте!
В самом начале этой статьи http://www.mat.univie.ac.at/~westra/isovoorthomas.pdf о группе ISO(1, 1) обозначен, как я понимаю, метод её построения: в матричной форме присутствует матрица из SO(1, 1) и также элемент пространства $\mathbb{R}^2$. Как-то сразу не укладывается в голове сочетание этих двух вещей в одной матрице.
Изначально мой интерес в вопросе, как запараметризовать матрицу ISO(1, 1).

Подскажите, пожалуйста, что имелось в виду в абстракте? Не понимаю, как такая матрица может выглядеть - не совпадают же элементы по размерностям даже.

[Slav-27]

Преобразование из этой группы переводит 2-компонентный столбец $v$ в 2-компонентный столбец $Av+b$, где $A$ есть $2\times 2$ матрица, а $b$ 2-компонентный столбец. Утверждается, что если сопоставить каждому такому преобразованию матрицу $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ (в более краткой записи -- $\begin{pmatrix}A & b\\ 0 & 1\end{pmatrix}$), то композиции двух преобразований сопоставится произведение сопоставленных им матриц.

Это следует из матричного равенства $\begin{pmatrix}A & b\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}Av+b\\1\end{pmatrix}$.

[qweqwe2017]

Slav-27, спасибо, здесь понятно!
Но не очень ясно, как определение группы ISO(1, 1) согласуется с таким определением матрицы преобразования.
Её столбцы это координаты базисных векторов. Здесь один из них это матрица SO(2)? Или как мы приходим к такому виду вообще матрицы ISO(1, 1)?

[Slav-27]

qweqwe2017 в сообщении #1398063 писал(а):

Но не очень ясно, как определение группы ISO(1, 1) согласуется с таким определением матрицы преобразования.

Сначала мы даём определение группы $ISO(1,1)$, а потом уже замечаем, что если каждому преобразованию из $ISO(1,1)$ сопоставить такую матрицу, то умножаться эти матрицы будут именно так, как надо.

[qweqwe2017]

Slav-27, извиняюсь, что так не въезжаю: но где мы убедились в том, что при умножении векторов на матрицы такого вида будет сохраняться длина?
Видимо, надо проверить на базисных векторах, но я и тут не могу связать в уме матрицу три на три и $R^2$. У нас один из базисных векторов это матрица из SO(1, 1)?

[Slav-27]

Не все матрицы такого вида соответствуют преобразованиям, сохраняющим расстояния. Иными словами, не для всякой $2\times 2$ матрицы $A$ преобразование $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, переводящее $v\mapsto Av+b$, сохраняет расстояния. Такое преобразование есть композиция преобразования $v\mapsto Av$ и трансляции $v\mapsto v+b$. Трансляции сохраняют расстояния; поэтому надо, чтобы $A$ сохраняла длины. Именно такие матрицы и надо брать в качестве $A$.

Такие матрицы образуют подгруппу в группе обратимых $2\times 2$ матриц, эта подгруппа обозначается $SO(1,1)$. Как устроены такие матрицы -- отдельный вопрос (простой: надо расписать действие матрицы на вектор в компонентах, и получится какое-то условие на компоненты $A$).

-- 06.06.2019, 15:31 --

qweqwe2017 в сообщении #1398071 писал(а):

Видимо, надо проверить на базисных векторах, но я и тут не могу связать в уме матрицу три на три и $R^2$. У нас один из базисных векторов это матрица из SO(1, 1)?

Матрицы $3\times 3$ -- это некоторая вспомогательная конструкция, и думать про неё имеет смысл только после того, как вы поймёте, что такое $ISO(1,1)$.

-- 06.06.2019, 15:33 --

На всякий случай: "расстояния" и "длины" здесь необычные. Например, "расстояние" между двумя различными точками $\mathbb R^2$ может быть нулевым.

[Munin]

qweqwe2017
Воспринимайте элементы $\mathrm{ISO}(n)$ как блочные матрицы:

$$\left(\begin{array}{ccc|c} \multicolumn{3}{c|}{\mathrm{SO}(n)} & \mathbb{T}\vphantom{\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}} \\ \hline \multicolumn{3}{c|}{0} & 1 \end{array}\right)$$

[qweqwe2017]

Munin, благодарю, но я другого не понимаю: группа определена на пространстве размерности 2, а матрица три на три. В Вашей записи размерность тоже у матрицы на один больше, чем пространства.
Slav-27, да, вроде понимаю: у матрицы должен быть единичный детерминант и сохраняет расстояния.
Хорошо, если объект обсуждения всё-таки просто вспомогательная конструкция, а не именно матричная реализация, то почему в публикации там равенство стоит, в определении?

[Munin]

qweqwe2017 в сообщении #1398139 писал(а):

Munin, благодарю, но я другого не понимаю: группа определена на пространстве размерности 2, а матрица три на три.

Группа в некотором смысле "самостоятельна" по отношению к пространству. (Строже говоря, мы можем рассматривать множество изоморфных групп, но на смысловом уровне всё это одна и та же группа - действующая на разных множествах, или не действующая вообще, записываемая иногда в разных обозначениях.)

Если нам надо рассмотреть движения евклидова пространства $\mathbb{E}^2,$ то мы можем сделать так: рассмотрим линейное пространство $\mathbb{R}^3,$ и в нём плоскость $x_3=1.$ Эта плоскость, очевидно, двумерное вещественное пространство. Тогда каждое движение этого двумерного пространства может быть сопоставлено какому-то линейному преобразованию $\mathbb{R}^3$ (понимаете как?), и это гомоморфизм групп. А линейные преобразования $\mathbb{R}^3$ записываются в виде матриц $3\times 3.$

Движения двумерного пространства - сохраняют длины (расстояния, метрику) на двумерном пространстве. Что сохраняют соответствующие преобразования $\mathbb{R}^3$? Не длину, нет. Поэтому не стоит накладывать на них такое требование.

По крайней мере, эти линейные преобразования должны оставлять плоскость $x_3=1$ на месте.

Кроме того, если точка $(0,0,1)$ остаётся на месте, то тогда движения есть только повороты и отражения вокруг этой точки, и тогда линейные преобразования сохраняют длины в $\mathbb{R}^3.$ Но это только подгруппа группы движений.

В общем, вот так вот, постепенно, разбираетесь со смыслом блоков матрицы $3\times 3.$

-- 06.06.2019 19:06:50 --

qweqwe2017 в сообщении #1398053 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что имелось в виду в абстракте?

Это не абстракт, а вступление. Абстракт там одна строчка :-)

qweqwe2017 в сообщении #1398139 писал(а):

Хорошо, если объект обсуждения всё-таки просто вспомогательная конструкция, а не именно матричная реализация, то почему в публикации там равенство стоит, в определении?

Это общепринятая реализация, так что почему бы для удобства и не написать равенство?

Кстати, эта реализация дальше по тексту вообще нигде не используется.

[arseniiv]

Вообще часто равенство пишут между элементами изоморфных друг другу вещей, соответствующих друг другу по известному из контекста изоморфизму. (В особо приятных случаях — единственному изоморфизму, но тут не тот случай.)

[qweqwe2017]

Munin, arseniiv, спасибо большое, теперь понятно.
Уточню на всякий случай: кол-во параметров в матричной реализации для ISO(1,1) равно кол-ву параметров для SO(1, 1)? Согласно статье, можно обойтись двумя ($\alpha$ и $\sigma$).

[Munin]

qweqwe2017 в сообщении #1398150 писал(а):

Уточню на всякий случай: кол-во параметров в матричной реализации для ISO(1,1) равно кол-ву параметров для SO(1, 1)?

Ну как же? А группа параллельных переносов $\mathbb{T}$? Она же $n$-мерна.

-- 06.06.2019 20:40:04 --

Кстати, какая-то тут неточность.

Если мы не включаем несобственных преобразований, то у нас $\mathrm{SO}(n),$ но на ней основана не $\mathrm{ISO}(n),$ а её подгруппа, сохраняющая ориентацию - обозначим её, например, $\mathrm{ISO}^+(n).$

(И уже в ней, в псевдоевклидовом случае, есть подгруппа, сохраняющая временну́ю ориентацию.)

А если мы хотим рассматривать группу движений, которые могут менять ориентацию, $\mathrm{ISO}(n),$ то она строится не на $\mathrm{SO}(n),$ а на $\mathrm{O}(n).$

См. https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_group

В вашей бумажке, которую вы читаете (на статью это не тянет, похоже на студенческие заметки), это как-то пропущено. Я бы не полагался на неё как на полноценный авторитетный источник.

[arseniiv]

Кстати там вообще $\mathrm{SO}^+(1,1)$ или именно несвязная $\mathrm{SO}(1,1)$?

[Munin]

Несвязная из двух компонент, в чём и состоит "результат" автора.

[arseniiv]

Стоп-стоп, $\mathrm{ISO}$ — это что, $\mathrm{E}$?

-- Чт июн 06, 2019 22:42:40 --

В том смысле, что это от слова «изометрия», а не приставка I, прибавленная к SO?

-- Чт июн 06, 2019 22:43:54 --

Хм, да, $\mathrm E$ действительно так обозначается.