Вопрос по учебнику Бутикова с компанией

[pogulyat_vyshel]

нет, вашу мысль уже понял, вот сейчас формулы покручу и отпишусь

[Munin]

Мне пришло в голову, что в данном случае "установившееся движение" можно понимать в точности как "периодическое движение".

[Geen]

Munin в сообщении #1398124 писал(а):

Мне пришло в голову, что в данном случае "установившееся движение" можно понимать в точности как "периодическое движение".

Ну только, вроде бы, так, напрямую, ниоткуда не следует, что монета движется именно по кругу и с той же самой частотой.
А для поддержания всего остального неоткуда брать энергию....

[ihq.pl]

DimaM в сообщении #1398043 писал(а):

движется, как кабинки на колесе обозрения

точней, одна единственная кабинка. Тогда тип движения подставки такой, что ориентация сохраняется, а любая её точка движется вокруг своего собственного центра по окружности, радиус которой не меняется от точки к точке.

И тогда, куда бы не переместилась монета, она всё равно "как бы" будет двигаться по окружности радиуса $r$. Может, в этом прикол?

[pogulyat_vyshel]

И так в комплексной форме дифференциальные уравнения имеют вид

$$\ddot z=-\mu g\frac{\dot z-ir\omega e^{i\omega t}}{|\dot z-ir\omega e^{i\omega t}|}$$

Ищем решение вида

$$z(t)=p e^{i\omega t}$$

параметр $p\in\mathbb{C}$ подлежит определению.
И сразу получаем

$$p=ci\frac{p-r}{|p-r|},\quad p\ne r,\quad c=\mu g/\omega^2$$

Следовательно, $p$ надо искать в виде
$p=ce^{i\psi}$.
откуда

$$-i=\frac{c/r-e^{-i\psi}}{|c/r-e^{-i\psi}|}$$

Боюсь, что при больших $c/r$ это уравнение не имеет решений (а имеет ли вообще?). А вообще идея с комплексной записью очень хороша.

[Munin]

Geen в сообщении #1398127 писал(а):

Ну только, вроде бы, так, напрямую, ниоткуда не следует, что монета движется именно по кругу и с той же самой частотой.
А для поддержания всего остального неоткуда брать энергию....

Ну вот и задачка на доказательство для уважаемого любителя трудностей pogulyat_vyshel.

Может, фазовый портрет нарисованной им системы рассмотрит :-)

pogulyat_vyshel в сообщении #1398130 писал(а):

Боюсь, что при больших $c/r$ это уравнение не имеет решений.

То есть, при больших $\mu,$ при малых $r$ и при малых $\omega.$ Это любой школьник сразу скажет: монета просто не будет скользить, она вместо этого будет двигаться вместе с подставкой. Кстати, найти граничные значения $r$ и $\omega$ для школьника тоже несложная задача.

-- 06.06.2019 18:20:42 --

Вообще, получился замечательный пример задачи, простой для физика и сложной для математика.

[pogulyat_vyshel]

pogulyat_vyshel в сообщении #1398130 писал(а):

Боюсь, что при больших $c/r$ это уравнение не имеет решений

Точнее говоря, оно не имеет решений при $c/r>1$ и имеет при $c/r<1$. А Бутиков с компанией этого не знали.

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1398133 писал(а):

А Бутиков с компанией этого не знали.

[ihq.pl]

pogulyat_vyshel в сообщении #1398098 писал(а):

уравнения движения монеты в лабораторной системе

$$\ddot x=-\mu g\frac{\dot x+r\omega\sin\omega t}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+r^2\omega^2+2r\omega(\dot x\sin\omega t-\dot y\cos\omega t)}};\quad \ddot y=-\mu g\frac{\dot y-r\omega\cos\omega t}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+r^2\omega^2+2r\omega(\dot x\sin\omega t-\dot y\cos\omega t)}}$$

а почему так? Я понимаю, что сила трения направлена против скорости. Но почему скорость монеты относительно подставки равна

$$v - \omega \times r$$

не понимаю. Объясните, плиз, кому не лень

[EUgeneUS]

ihq.pl в сообщении #1398149 писал(а):

Но почему скорость монеты относительно подставки равна

$$v - \omega \times r$$

Наверное, потому что переход в СО подставки из СО наблюдателя.

[ihq.pl]

EUgeneUS, наверно или точно? Как быть, когда силы трения нет, т.е. $\mu = 0$? Монетка будет стоять или скользить с постоянной скоростью по прямой? А центростремительное ускорение разве не надо учитывать? В общем, если бы я не видел уравнения pogulyat_vyshel, то написал бы так

$$\dot{R} = \vec{v}, \quad \ddot{R} = \omega^2 \vec{r} - \mu g \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|},$$

где $\vec{r} = r(\cos\omega t, \sin\omega t)$

-- 06.06.2019, 23:36 --

не, ну я не знаю.. если я не прав и центробежной силы нет, то непонятно, как химики перемешивают свои растворы на таких подставках

-- 06.06.2019, 23:47 --

Хотя, можно, наверно, попытаться объяснить действием силы реакции сосудов, в которых находятся растворы.

[ihq.pl]

Монета движется по кругу радиуса

$$r_1 = r\sqrt{1 - k^2}, \quad k = \frac{\mu g }{\omega^2r}.$$

[pogulyat_vyshel]

А для всякого ли периодического (поступательного, с равным нулю в среднем ускорением ) закона движения стола существует периодическое движение частицы по столу? Риторический вопрос, уже не для форума.

[Munin]

О! Глубокое обобщение.

Думаю, что сразу надо предупредить: не для всякого, если хотеть условия, что частица всегда движется по столу. (То есть, не переходит в режим трения покоя.) Пример: пусть периодическое движение стола состоит из короткого движения + длинного промежутка покоя. Тогда частица не сможет набрать за промежуток движения достаточно энергии, чтобы сохранить её до следующего периода.

[Padawan]

Ну, пусть стол будет бесконечным во все стороны.