График функции $y = 1/x^2$

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

При чём тут логарифм?! Я сначала нашёл определенный интеграл, а дальше подставил уже значение k.

А вы понимаете, что этот определённый интеграл при разных значениях $k$ должен находиться по-разному?

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

Я задаю вопросы не по курсам

А с этим что случилось?

15.07.2016

Solaris86 в сообщении #1138032 писал(а):

Ура! Я теперь снова студент, но уже технического профиля!!! Наконец познакомлюсь с сильно мной желанным и долгожданным ВУЗовским курсом физики и математики!!!

[Solaris86]

Someone в сообщении #1397598 писал(а):

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{0+\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^k}dx= -\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{1}{x^{k-1}(k-1)}\bigg|_{0+\varepsilon}^1 = - (\frac{1}{1^{k-1}(k-1)} - \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{(0+\varepsilon)^{k-1}(k-1)}) = +\infty$, т.е. интеграл расходится. Это при каком $k$? При $k>1$ или при $k<1$? Или Вам без разницы? Между прочим, результаты должны быть разными.

ОК.
1. $k < 1$
$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{0+\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^k}dx= -\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{1}{x^{k-1}(k-1)}\bigg|_{0+\varepsilon}^1 = - (\frac{1}{1^{k-1}(k-1)} - \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{(0+\varepsilon)^{k-1}(k-1)}) = - (-\frac{1\cdot1^{1-k}}{1-k} + \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1\cdot(0+\varepsilon)^{1-k}}{(1-k)}) = \frac{1}{1-k}$
2. $k = 1$
$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{0+\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^k}dx= \lim\limits_{\varepsilon\to 0} \ln|x^k|\bigg|_{0+\varepsilon}^1 = \ln|1^k| - \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\ln|(0+\varepsilon)^k|= k\ln|1| - \ln|0^k|= k\cdot0 - k\ln|0| = 0 - k\cdot(-\infty) = +\infty$
3. $k > 1$
$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{0+\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^k}dx= -\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{1}{x^{k-1}(k-1)}\bigg|_{0+\varepsilon}^1 = - (\frac{1}{1^{k-1}(k-1)} - \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{(0+\varepsilon)^{k-1}(k-1)}) = +\infty$
Верно?

-- 04.06.2019, 12:11 --

Munin в сообщении #1397613 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

При чём тут логарифм?! Я сначала нашёл определенный интеграл, а дальше подставил уже значение k.

А вы понимаете, что этот определённый интеграл при разных значениях $k$ должен находиться по-разному?

Теперь понял.

Munin в сообщении #1397621 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

Я задаю вопросы не по курсам

А с этим что случилось?

15.07.2016

Solaris86 в сообщении #1138032 писал(а):

Ура! Я теперь снова студент, но уже технического профиля!!! Наконец познакомлюсь с сильно мной желанным и долгожданным ВУЗовским курсом физики и математики!!!

Ничего, я продвигаюсь в своём темпе по мере своих возможностей.

[Someone]

В общем, правильно, но есть замечания и полезные советы.
1) Предел справа обычно обозначают как $\lim\limits_{x\to a+0}$, $\lim\limits_{x\to a^+}$ и т.п. Предел слева — аналогично, но вместо "$+$" пишут "$-$".
2) Непонятно, зачем писать $0+\varepsilon$ вместо просто $\varepsilon$. Я бы в этом месте написал $\varepsilon\to 0^+$, и всем было бы понятно.
3) Также непонятно, что делает в формулах буква $k$, если $k=1$. Она только запутывает вычисления и затрудняет их. Если "буква" имеет конкретное численное значение, обычно проще сразу подставить его и забыть про букву (бывают исключения).
4) Непонятно, зачем нужны многочисленные двойные минусы, которые опять же только запутывают вычисления. Проще так:

$$\int\frac{dx}{x^k}=\int x^{-k}dx=\frac{x^{1-k}}{1-k}+C.$$

5) Если нужны ограничители увеличенного размеры (скобки, вертикальные "палки" и т.п.), удобно использовать конструкцию с командами \left и \right. Обычно \TeX вполне разумно определяет требуемый размер. Если нужен только правый или только левый ограничитель, то вместо парного в команде \left или \right нужно указать точку.
6) Слишком длинные формулы, не помещающиеся в строке, лучше вручную разбивать на удобные части. Пакет, делающий это автоматически по правилам, принятым в России, существует, но на форуме не загружается (кроме того, он иногда может создавать неожиданные проблемы, поэтому я пользуюсь им в личных целях, но для форума не рекомендовал бы).

[Munin]

Someone в сообщении #1397681 писал(а):

1) Предел справа обычно обозначают как $\lim\limits_{x\to a+0}$, $\lim\limits_{x\to a^+}$ и т.п. Предел слева — аналогично, но вместо "$+$" пишут "$-$".

Когда предел к нулю, то бывает и обозначение $\lim\limits_{x\to+0}.$ По крайней мере, у нас так было.

Остальные замечания, мне кажется, мелочь от отсутствия практики.

-- 04.06.2019 17:15:34 --

Solaris86
Ну вот в целом вы молодец, нашли функцию

$f(k)=\begin{cases}\tfrac{1}{1-k}, & k<1 \\ \nexists, & k=1 \\ \nexists, & k>1 \\ \end{cases}$

(я пишу $\nexists$ вместо $+\infty,$ потому что $+\infty$ - не число, и не может быть значением действительной функции).

А теперь просто постройте её график. По горизонтали $k,$ по вертикали $f(k).$

[Someone]

Munin в сообщении #1397731 писал(а):

Когда предел к нулю, то бывает и обозначение $\lim\limits_{x\to+0}.$

Я тоже встречал. Но это, видимо, сокращение от $0+0$.

[Solaris86]

Благодарю за разъяснения!

Munin в сообщении #1397731 писал(а):

А теперь просто постройте её график. По горизонтали $k,$ по вертикали $f(k).$

Построил. Получается, по левой ветви гиперболы я могу сразу найти значение площади криволинейной трапеции от правой ветви функции $y(x) = \frac{1}{x^k}, k<1$ в интервале $x\in [0;1]$,так?
И ещё, получается, что для интервала $x\in [1;+\infty]$ ситуация с площадью будет такова:
1. $k < 1$
$g(k)=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to +\infty} \int_{1}^{\varepsilon}\frac{1}{x^k}dx= \lim\limits_{\varepsilon\to +\infty}\frac{x^{1-k}}{(1-k)}\left. \right|_{1}^{\varepsilon} = +\infty$
2. $k = 1$
$g(k)=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to +\infty} \int_{1}^{\varepsilon}\frac{1}{x}dx= \lim\limits_{\varepsilon\to +\infty} \ln|x|\left. \right|_{1}^{\varepsilon} = +\infty$
3. $k > 1$
$g(k)=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to +\infty} \int_{1}^{\varepsilon}\frac{1}{x^k}dx= \lim\limits_{\varepsilon\to +\infty}\frac{x^{1-k}}{(1-k)}\left. \right|_{1}^{\varepsilon} = \frac{1}{k-1}$
И аналогично, построив график $g(k)$, по правой ветви гиперболы я смогу отыскать значение площади криволинейной трапеции от правой ветви функции $y(x) = \frac{1}{x^k}, k>1$ в интервале $x\in [1;+\infty]$ (понимаю, что со стороны бесконечности должна стоять круглая скобка, так как интервал должен быть полуоткрытым, но мы же включаем это значение в расчёты)?

[Munin]

Главное, что вы должны были увидеть на графике - это что он закономерно устремляется в бесконечность, и вполне логично, что начиная с некоторого $k$ интеграл расходится, и так дальше и будет расходиться.

А использовать его для расчётов - несколько бессмысленно. Всегда легко получить формулу, и её использовать. График здесь не для расчётов, а для качественного понимания ситуации.

[B@R5uk]

Я немного пропустил тут ход обсуждения, но мне интересно вот что. Уже обратили внимание на то, что у всех гипербол $y=x^{-|k|}$ хотя бы одна ветвь интегрируется всегда вне зависимости от $|k|$, кроме случая $|k|=1$? В последнем случае расходятся обе ветви, причём расходимость у них одинаковая и она отличается от расходимостей других гипербол тем, что здесь она логарифмическая, а там она степенная. Такая вот особенная степень $-1$.