Следствие из Теорем Тихонова

[netopolog]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, никак не могу найти доказательство:(
1) тихоновский куб любого веса компактен

Моя попытка: 1)
а) Пусть $ a =\left\lbrace 1,2 \right\rbrace, X_1= I_1= [0,1], X_2=I_2=[0,1]$, тогда $I^2= I_1 \times I_2 = \left\lbrace (x_1, x_2) : x_i \in [0,1] \right\rbrace$ компактно. Это обычный квадрат.
б) Пусть $ a =\left\lbrace 1,2,3 \right\rbrace, X_1= I_1= [0,1], X_2=I_2=[0,1], X_3=I_3$, тогда $I^3= I_1 \times I_2 \times I_3= \left\lbrace (x_1, x_2, x_3) : x_i \in [0,1] \right\rbrace$ компактно. Это обычный куб.
А дальше по индукции $I_n$ Компактно.

2)Если $n \leqslant m $, то куб $I^{n}$ вкладывается в $I^{m}.$
3) Тихоновский куб $I^{m}$ - универсальное пространство для всех тихоновских пространств и компактных хаусдорфовых пространств веса не больше $m.$

В каком источнике можно найти?) Смотрела в Келли, Энгелькинге, Виро, в интернете. Нигде не могу найти доказательства! Очень прошу мне помочь!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[пианист]

Если речь про компактность произведения компактов, то доказательство есть, например, в книжечке Понтрягина "Непрерывные группы".

[george66]

Есть общая теорема "произведение любого множества компактных пространств компактно". Называется "теорема Тихонова", есть везде (у Келли, Энгелькинга и т.д.) Тихоновский куб - это произведение отрезков, отрезок компактен. Индукции не надо.

[пианист]

(Оффтоп)

george66 в сообщении #1397464 писал(а):

.. есть везде ..

Да, действительно. Впрочем, по минимальном размышлении, и странно было бы, если бы не ;)
Я просто сам в Понтрягине эту теорему курил, вот и среагировал.
upd Кстати, мне одному мерещится нечто общее у тихоновской топологии с винеровской мерой?

[Someone]

netopolog в сообщении #1397378 писал(а):

1) тихоновский куб любого веса компактен

Термин "тихоновский куб" не относится к конечномерным кубам $I^n$. Он обозначает $I^{\mathfrac n}$, где $\mathfrac n$ — бесконечный кардинал. Поэтому рассуждение с индукцией по натуральным числам к делу отношения не имеет. Абсолютно никакого.

Доказательства теорем 1) (в более общем виде) и 3) можно найти, например, в книге Энгелькинга, которую Вы упоминали. И, наверное, практически в каждой учебной книге по общей топологии.
Что касается утверждения 2), то оно столь тривиально, что искать его доказательство где-либо бесполезно. Докажите сами.