График функции $y = 1/x^2$

[Solaris86]

Munin в сообщении #1397162 писал(а):

О!
Вам знакомо такое понятие, как зависимость задачи и ответа от параметра?

Знакомо, но не применительно к интегралам.

[Munin]

Ну в общем, его можно использовать почти в любом контексте. Если у вас есть буква $k,$ то сначала вы воспринимаете её как число, и решаете задачу. А потом вспоминаете, что число может быть разным. И получается зависимость от этой величины.

[Aritaborian]

Очень даже применительно. Можете вычислить $\int \limits _0 ^\pi \sin x dx$? А $\int \limits _0 ^\pi \sin {2x} dx$? А теперь перейдите к $\int \limits _0 ^\pi \sin {kx} dx$... Это тоже будет число. Но оно зависит от $k$.

[svv]

Поэтому, например,
$F(y)=\int\limits_a^b x^y\,dx$
$G(x)=\int\limits_a^b x^y\,dy$
— две совершенно разные функции.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1397101 писал(а):

Можете посчитать $f(k)=\int_{0}^{1}\tfrac{1}{x^k}dx,$ и рассмотреть её как функцию от $k.$ Она должна возрастать и устремиться в бесконечность в точке $k=1.$

Рискну предположить:
$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_0^1 = \frac{(-1)^{-k+1}}{-k+1}$
$k = 1$
$f(1) = \frac{(-1)^{-1+1}}{-1+1}= \frac{(-1)^{0}}{0} = \frac{1}{0} = +\infty$
Проверяем возрастание: f'(k) должно быть больше или равно 0.
$f'(k)=(-1)^{-k}-\frac{(-1)^{-k-2}}{(-k+1)^2}$
И как доказать, что это выражение неотрицательно?!

[arseniiv]

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_0^1 = \frac{(-1)^{-k+1}}{-k+1}$

Откуда минус единица?

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

Рискну предположить:
$\ldots= \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_0^1 = \frac{(-1)^{-k+1}}{-k+1}$

Чё-то у вас в этом месте нехорошо. От слова "совсем не умеет подставлять пределы интегрирования".

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

$k = 1$

А вот нет! Надо рассмотреть и $k<1,$ и $k>1.$

-- 03.06.2019 18:22:20 --

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

И как доказать, что это выражение неотрицательно?!

Надо в предыдущей части решения не наделать ошибок. Тогда и этого вопроса не возникнет.

[Solaris86]

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

Munin в сообщении #1397101 писал(а):

Можете посчитать $f(k)=\int_{0}^{1}\tfrac{1}{x^k}dx,$ и рассмотреть её как функцию от $k.$ Она должна возрастать и устремиться в бесконечность в точке $k=1.$

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_0^1 = \frac{1^{-k+1}}{-k+1} = \frac{1}{-k+1} $
$\lim\limits_{k\to 1-0} \frac{1}{-k+1} = \frac{1}{-(1-0)+1} = \frac{1}{+0} = +\infty$
$\lim\limits_{k\to 1+0} \frac{1}{-k+1} = \frac{1}{-(1+0)+1} = \frac{1}{-0} = -\infty$
$f'(k)=\frac{1}{(-k+1)^2}>0$, т.е. возрастает на всей области определения.
И что я таким образом получил?

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1397571 писал(а):

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_0^1 = \frac{1^{-k+1}}{-k+1} = \frac{1}{-k+1} $

Это неверно. Чтобы написать правильное решение, нужно знать, что такое несобственный интеграл.

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

$k = 1$
$f(1) = \frac{(-1)^{-1+1}}{-1+1}= \frac{(-1)^{0}}{0} = \frac{1}{0} = +\infty$

Судя по этим "вычислениям", Вы и таблицу интегралов не знаете.

[Munin]

Solaris86
Хорошо. Посчитайте пока

$$f_1(k)=\int\limits_{0{,}1}^{1}\dfrac{1}{x^k}dx.$$

Это должно быть проще. Просто посчитайте, безо всяких пределов и анализа поведения функции.

-- 03.06.2019 23:18:23 --

Solaris86
Щас конец 2018-2019 года. Вы задаёте вопросы примерно из конца 1-го курса.
В середине 2017-2018 года вы интересовались примерно анализом 2-го курса.
В конце 2014-2015 годов вопросы были уровня 2-3 курса. И среди них вопросы уровня 4-5 курса.
Никнейм ваш вообще родом из 90-х (в лучшем случае 00-х) годов, серверная ОС Solaris.
Скажите, вы контрамот?

[Solaris86]

Someone в сообщении #1397573 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1397571 писал(а):

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_0^1 = \frac{1^{-k+1}}{-k+1} = \frac{1}{-k+1} $

Это неверно. Чтобы написать правильное решение, нужно знать, что такое несобственный интеграл.

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

$k = 1$
$f(1) = \frac{(-1)^{-1+1}}{-1+1}= \frac{(-1)^{0}}{0} = \frac{1}{0} = +\infty$

Судя по этим "вычислениям", Вы и таблицу интегралов не знаете.

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{0+\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^k}dx= -\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{1}{x^{k-1}(k-1)}\bigg|_{0+\varepsilon}^1 = - (\frac{1}{1^{k-1}(k-1)} - \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{(0+\varepsilon)^{k-1}(k-1)}) = +\infty$, т.е. интеграл расходится.
В чём выражается незнание таблицы интегралов? Я в курсе, что $\int \frac{1}{x^n}dx= \frac{n+1}{x^{n+1}} + C$ для $n \not= 1$ и что для $n = 1$ будет $\int \frac{1}{x}dx= \ln|x| + C$

Munin в сообщении #1397578 писал(а):

Solaris86
Хорошо. Посчитайте пока

$$f_1(k)=\int\limits_{0{,}1}^{1}\dfrac{1}{x^k}dx.$$

Это должно быть проще. Просто посчитайте, безо всяких пределов и анализа поведения функции.

$f_1(k)=\int\limits_{0.1}^{1}\frac{1}{x^k}dx = \frac{x^{-k+1}}{-k+1}\bigg|_{0.1}^1 = \frac{1^{-k+1}-{0.1}^{-k+1}}{-k+1}$

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1397586 писал(а):

$f_1(k)=\frac{1^{-k+1}-{0.1}^{-k+1}}{-k+1}$

Ну отлично! Теперь можно построить график.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1397586 писал(а):

В чём выражается незнание таблицы интегралов? Я в курсе, что $\int \frac{1}{x^n}dx= \frac{n+1}{x^{n+1}} + C$ для $n \not= 1$ и что для $n = 1$ будет $\int \frac{1}{x}dx= \ln|x| + C$

Первая формула написана неправильно.

Solaris86 в сообщении #1397505 писал(а):

$k = 1$
$f(1) = \frac{(-1)^{-1+1}}{-1+1}= \frac{(-1)^{0}}{0} = \frac{1}{0} = +\infty$

И где у Вас логарифм?

Solaris86 в сообщении #1397586 писал(а):

$f(k)=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^k}dx =\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_{0+\varepsilon}^{1}\frac{1}{x^k}dx= -\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{1}{x^{k-1}(k-1)}\bigg|_{0+\varepsilon}^1 = - (\frac{1}{1^{k-1}(k-1)} - \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{(0+\varepsilon)^{k-1}(k-1)}) = +\infty$, т.е. интеграл расходится.

Это при каком $k$? При $k>1$ или при $k<1$? Или Вам без разницы? Между прочим, результаты должны быть разными.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1397578 писал(а):

Щас конец 2018-2019 года. Вы задаёте вопросы примерно из конца 1-го курса.
В середине 2017-2018 года вы интересовались примерно анализом 2-го курса.
В конце 2014-2015 годов вопросы были уровня 2-3 курса. И среди них вопросы уровня 4-5 курса.
Никнейм ваш вообще родом из 90-х (в лучшем случае 00-х) годов, серверная ОС Solaris.
Скажите, вы контрамот?

Я задаю вопросы не по курсам, а по тому, что на данный момент находится в сфере интересов и что не ясно.

-- 04.06.2019, 00:04 --

Someone в сообщении #1397598 писал(а):

Первая формула написана неправильно.

Да, вижу.

Someone в сообщении #1397598 писал(а):

И где у Вас логарифм?

При чём тут логарифм?! Я сначала нашёл определенный интеграл, а дальше подставил уже значение k.

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

Это при каком $k$? При $k>1$ или при $k<1$? Или Вам без разницы? Между прочим, результаты должны быть разными.

Я же не на пересдаче зачёта у вас, серьёзно. Я не понимаю этот формат общения. Видите, что я не понимаю, так напишите правильно, да и всё. Я ещё больше запутываюсь от всего этого.
Я писал выше, что с параметрами при вычислении пределов, интегралов и прочего дела не имел, поэтому мне сложно вникнуть.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

Видите, что я не понимаю, так напишите правильно, да и всё.

Правила запрещают. Вплоть до пожизненной блокировки. Поэтому могу только задавать наводящие вопросы.

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

При чём тут логарифм?! Я сначала нашёл определенный интеграл, а дальше подставил уже значение k.

Ага. Только формула, куда Вы подставляете, при $k=1$ смысла не имеет, потому что деление на $0$ не определено. И при её выводе предполагается, что $k\neq 1$.

Solaris86 в сообщении #1397603 писал(а):

Я ещё больше запутываюсь от всего этого.

Значит, надо читать учебник.