Свободная полугруппа

[GlobalMiwka]

Здравствуйте!

Если Е и Е' — полугруппы, то отображение $\varphi$ из Е в Е' называется гомоморфизмом, если оно сохраняет операцию умножения, т. е. если $\varphi(ef)=\varphi(e)\varphi(f)$. Полугруппа E называется свободной, если она имеет базис S, т. е. такое подмножество S, что любое отображение S в произвольную полугруппу Е' может быть единственным образом расширено до гомоморфизма Е в Е'. Докажите, что данное определение эквивалентно тому, что S удовлетворяет свойству единственности разложения на простые множители, роль которых играют элементы базиса.

Что я смог выяснить, так это то, что:

1. из утверждения " может быть единственным образом расширено до гомоморфизма Е в Е' " следует, что отображения $\varphi$ из S в Е' разные, а за пределами S могут быть и одинаковыми.
2. из утверждения "любое отображение S" следует, что можно разбиению S сопоставить разбиение Е и выбрать из эквиваленций разбиения Е один элемент и сопоставить его одной из эквиваленции разбиения S
3. из утверждения " любое отображение S в произвольную полугруппу Е' " я ничего не могу вывести.

Короче, не знаю, что делать дальше.

Спасибо за помощь.

[arseniiv]

GlobalMiwka в сообщении #1396285 писал(а):

1. из утверждения " может быть единственным образом расширено до гомоморфизма Е в Е' " следует, что отображения $\varphi$ из S в Е' разные, а за пределами S могут быть и одинаковыми.

М, это какое-то слабое следствие, если я вообще понял, что оно значит. Куда полезнее должно быть следствие, что если есть гомоморфизмы $\varphi_1,\varphi_2\colon E\to E'$ и при этом $\varphi_1|_S = \varphi_2|_S$, то $\varphi_1 = \varphi_2$ — вот это формализует «единственным образом». Просто возможность расширить функцию из $S$ до гомоморфизма из $E$ будет недостаточна.

GlobalMiwka в сообщении #1396285 писал(а):

2. из утверждения "любое отображение S" следует, что можно разбиению S сопоставить разбиение Е и выбрать из эквиваленций разбиения Е один элемент и сопоставить его одной из эквиваленции разбиения S

Это можно сделать только для сюръективной функции — иначе будут элементы, не имеющие прообраза. Плюс для неинъективной функции один класс эквивалентности на $E$ может соответствовать нескольким классам эквивалентности на $S$. В общем это и правда куда-то не в ту степь: чем нам вообще бы помогло разбиение? Его как минимум не видно в том, что нужно доказать, и это никак не связано с тем, что дано. С другой стороны, хорошо, что есть хоть какие-то идеи, хотя они и не те.

GlobalMiwka в сообщении #1396285 писал(а):

3. из утверждения " любое отображение S в произвольную полугруппу Е' " я ничего не могу вывести.

Ну, правильно, это же не утверждение.

Используйте, что расширение $\varphi$, назовём его $\varphi'$ — это уже именно гомоморфизм, а не какая-то функция. Поотображайте $E$ куда-нибудь, или что-нибудь в $E$. Попробуйте отобразить $E$ в себя. Возьмите ещё гомоморфизм $f\colon E'\to E''$, скомпозируйте его с $\varphi'$. Что-нибудь ещё может прийти в голову.

[GlobalMiwka]

в 1-ом утверждении я имел ввиду, что если взять 2 разных отображения Е в Е', то 2 отображения S в Е могут быть одинаковыми.

во 2-ом, это то как можно представить себе отображение S в Е'. Да, я не упомянул элементы за пределами S. Мысль заключалась в том как построить отображение S в Е'. Создать разбиение S и заполнить каждый мешочек его, например, бесконечным множеством из Е', а затем выбрать по одному элементу, но как выбирать, если вообще можно выбрать, я не говорю.

1-е и 2-е о том как представить себе эти отображения.

в 3-ем же, а кто сказал, что отображение вообще может быть гомоморфным при "любом (обратите внимание) отображении S в произвольную (я так понимаю любую имеется ввиду) полугруппу Е' может быть единственным образом расширено до гомоморфизма Е в Е' ". Это какое-то удивительное S.

что-то все равно не пойму, может еще какие подсказки?

[arseniiv]

GlobalMiwka в сообщении #1396342 писал(а):

в 1-ом утверждении я имел ввиду, что если взять 2 разных отображения Е в Е', то 2 отображения S в Е могут быть одинаковыми.

Ага. Но в таком случае как минимум одно из отображений $E$ в $E'$ не гомоморфизм полугрупп.

GlobalMiwka в сообщении #1396342 писал(а):

Мысль заключалась в том как построить отображение S в Е'. Создать разбиение S и заполнить каждый мешочек его, например, бесконечным множеством из Е', а затем выбрать по одному элементу, но как выбирать, если вообще можно выбрать, я не говорю.

Понятно. Но нам не надо его создавать, оно сразу дано, так что об этом можно не беспокоиться. Нам наоборот надо использовать эту функцию (в конечном счёте применяя её к разным вещам).

GlobalMiwka в сообщении #1396342 писал(а):

что-то все равно не пойму, может еще какие подсказки?

Ну вот смотрите, вот было некоторое $\varphi\colon S\to E'$ (значит у нас есть и гомоморфизм $\varphi'\colon E\to E'$) и был гомоморфизм $f\colon E'\to E''$. Композиция $f\circ\varphi'$ — это тоже гомоморфизм, уже $E\to E''$, притом являющийся единственным расширением функции $f\circ\varphi\colon S\to E''$. Что это даёт?

[Pphantom]

GlobalMiwka, обратите, пожалуйста, внимание на то, как ваш собеседник пишет обозначения вроде $E'$, и последуйте его примеру.

[GlobalMiwka]

Извините, конечно, но мне не ясно к чему мы идем. В целом мне не ясна суть задачи. Мне не ясен смысл "$S$ удовлетворяет свойству единственности разложения на простые множители, роль которых играют элементы базиса". Это значит, что что-то может быть разложено на элементы $S$ единственным образом ???

[george66]

Возьмите свободную полугруппу с базисом из двух элементов $a,b$. Её элементы - это всевозможные произведения $a$ и $b$:
$a,b,aa,ab,ba,bb,aaa,aab\ldots$
(слова в алфавите $a,b$)
Чтобы задать гомоморфизм куда-нибудь, достаточно знать, во что переходят $a$ и $b$. Потому что $aa$ перейдёт в $\varphi(a)\varphi(a)$, точно так же $ab$ перейдёт в $\varphi(a)\varphi(b)$ и т.д.

[arseniiv]

GlobalMiwka
Да, я надеялся, что за этой формулировкой стоит какой-то уже известный контекст. В данном случае должно иметься в виду, что каждый элемент $E$ можно представить как произведение элементов $S$, возможно с повторениями (ну и единственным образом, да). Например, какое-нибудь $abcbbacaaabcbccc$, если $S = \{a,b,c\}$.

george66
Но тут-то свободная полугруппа определяется универсальным свойством, а её представимость в виде языка $S^+$ с конкатенацией надо доказать.

-- Чт май 30, 2019 01:02:05 --

Впрочем, да, вполне можно начать с этого и доказывать то… Не подумал.

[GlobalMiwka]

Хотел бы вас поблагодарить за то, что вы находите время помогать таким как я. Ваша помощь неоценима для нас.

честно, не помогают что-то мне эти примеры.

мне теперь не совсем ясна стала фраза "может быть единственным образом расширено до гомоморфизма Е в Е'". Кроме 2-х простых утверждений ничего нет пока:

1. $\forall\varphi\forall\varphi'(\forall s (\varphi(s)=\varphi'(s))\wedge\forall e\forall e' (\varphi(ee')=\varphi(e)\varphi'(e))\wedge\exists e\exists e'(\varphi'(ee')\neq\varphi(e)\varphi(e')))$
2. $\forall \varphi\forall\varphi'(\exists s(\varphi(s)\neq\varphi'(s))\wedge\forall e\forall e'(\varphi(ee')=\varphi(e)\varphi(e')\wedge\varphi'(ee')=\varphi(e)\varphi(e')))$
3. из гомоморфизма $\varphi(abc)=\varphi(a'bc') $ не следует, что $ abc=a'bc'$
4. абсолютно не могу себе представить, что значит "любое отображение S в произвольную полугруппу Е' ". Какое следствие из этого ?

[alcoholist]

GlobalMiwka
В п.1,2 ерунда какая-то написана. Вы можете словами?
По п. 3. "Из" гомоморфизма ничего не может следовать.
п. 4. С этим как раз проще. Просто надо ясно понимать, что базис $S\subset E$ это такое подмножество, что любой элемент $h\in E$ представляется в виде конечного произведения элементов из $S$ и $S$ минимально. То есть из $S$ нельзя выкинуть ни одного элемента.

-- Сб июн 01, 2019 13:12:24 --

GlobalMiwka в сообщении #1397008 писал(а):

любое отображение S в произвольную полугруппу Е'

Другими словами: любой гомоморфизм $f\colon E\to E'$ однозначно определен своим ограничением $f|_S$ на множество $S$.

[GlobalMiwka]

1. для двух отображений, если они равны на множестве $S$, то одна из них сохраняет гомоморфизм, а вторая нет
2. для двух отображений, если они не равны на множестве $S$, то обе гомоморфны
1-е и 2-е потому, что "любое отображение из $S$ в $E$" и "может быть единственным образом расширено до гомоморфизма $E$ в $E'$".

в первой части об утверждений об эквиваленции из двух, не сказано, что все элементы $E$ представимы однозначно $S$, там лишь говориться "имеет базис $S$, т. е. такое подмножество $S$, что любое отображение $S$ в произвольную полугруппу $E'$ может быть единственным образом расширено до гомоморфизма $E$ в $E'$"

[alcoholist]

GlobalMiwka в сообщении #1397044 писал(а):

1. для двух отображений, если они равны на множестве $S$, то одна из них сохраняет гомоморфизм, а вторая нет

что такое "сохранять гомоморфизм"?

GlobalMiwka в сообщении #1397044 писал(а):

обе гомоморфны

гомоморфны (что это за термин?) чему?

GlobalMiwka в сообщении #1397044 писал(а):

все элементы $E$ представимы однозначно $S$

и я этого не утверждаю
Точное перефразирование высказывания

GlobalMiwka в сообщении #1396285 писал(а):

любое отображение S в произвольную полугруппу Е' может быть единственным образом расширено до гомоморфизма Е в Е'

должно звучать как: любой гомоморфизм $f\colon E\to E'$ однозначно определен своим ограничением $f|_S$ на множество $S$ и любое отображение $g\colon S\to E'$ является ограничением некоторого гомоморфизма.

[GlobalMiwka]

Мне это перефразирование и надо доказать. Что рассматривать надо чтобы прийти к этому перефразированию ?

[alcoholist]

GlobalMiwka в сообщении #1397093 писал(а):

Мне это перефразирование и надо доказать

Нет. Вам надо доказать эквивалентность двух определений. Я лишь перефразировал условие одного из них.

Давайте действовать последовательно. Сначала дадим
Определение. Подмножество $S\subset E$ полугруппы называется базисом, если
а) любой элемент $h\in E$ представляется в виде конечного произведения элементов из $S$;
б) из множества $S$ нельзя выкинуть никакой элемент чтобы а) выполнялось.

Разберемся с прямым утверждением: Пусть $S$ -- базис в полугруппе $E$. Если любое отображение $f\colon S\to E'$ в произвольную полугруппу однозначно продолжается до гомоморфизма $\bar{f}\colon E\to E'$, то представление любого элемента $h\in E$ в виде произведения элементов из $S$ однозначно.

[GlobalMiwka]

Хорошо. Определения я понял, дальше как?