Теорема про коническую поверхность.

[Gladiator1995]

Приобрёл книжечку Троицкого по аналитической геометрии, чтобы на досуге изучать геометрию. Дошел до теоремы про коническую поверхность над эллипсом.
(Теорема): Коническая поверхность над эллипсом - конус 2-ого порядка.
Доказательство:
Выберем такую систему координат в пространстве с центром в точке, что плоскость \pi имеет уравнение \textit{z = h \neq 0}. Если мы выберем направления осей \textit{Ox} и \textit{Oy} параллельно главным осям эллипса, то уравнение эллипса в плоскости $ \pi$(плоскости эллипса) примет вид:$F(x,y)=a_{11}(x-x_0)^{2} + a_{22}(y-y_0)^{2} - 1=0$, где $0<a_{11}\le a_{22}$. Тогда уравнение конической поверхности над ним: $G(x,y,z)=z^{2}F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)=0$. Действительно, точка (x,y,z), $ z\ne0 $, принадлежит поверхности тогда и только тогда, когда точка $(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h, h)$ принадлежит кривой, т.е. $F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)=0$. Но при сделанном предположении $ z\ne0 $ данное уравнение равносильно выводимому. Осталось доказать, что при $z=0$ выводимое уравнение определено и его множество решений совпадает с О. Определённость следует из того, что во втором сомножителе степень $\frac{1}{z}$ равна 2 и при умножении пропадает. После умножения уравнение превращается ( при $z=0$) в $h^{2}q(x,y)=0$. Поскольку ассимтотических направлений у эллипса нет, то \textit{x = y = 0}?
Итак,
$G(x,y,z)=z^{2}(a_{11}(\frac{x-x_0}{z}h)^{2} + a_{22}(\frac{y-y_0}{z}h)^{2} -1)=0$.
После замены $x'=x-x_0,y'=y-y_0, z'=z$
$G(x',y',z')=a_{11}h^2(x')^{2} + a_{22}h^2(y')^{2} - {z'}^2=0$, т. е. конус.


Честно говоря, я не очень понял это доказательство. В связи с этим у к вам, дорогим математикам, несколько вопросов:
1) Почему коническая поверхность имеет именно уравнение $G(x,y,z)=z^{2}F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)=0$? Я не знаю, может быть, этот вопрос уровня 1 класса, но до сих пор не могу понять, откуда его взяли. Рисовал рисунки, но так не до конца и не понял.
2) Почему там стоит $(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)$ в аргументах функции $F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)$?
Если брать \textit{x} и \textit{y} при различных \textit{z} из различных сечений, параллельных плоскости \pi, то аргументы как раз должны быть $(\frac{x}{h}z,\frac{y}{h}z)$ (из подобия треугольников).

[LMA]

А не так?
$G(x,y,z)=z^{2}(a_{11}(\frac{x}{z}h-x_0)^{2} + a_{22}(\frac{y}{z}h-y_0)^{2} -1)=0.$

Gladiator1995 в сообщении #1396832 писал(а):

Если брать \textit{x} и \textit{y} при различных \textit{z} из различных сечений, параллельных плоскости \pi, то аргументы как раз должны быть $(\frac{x}{h}z,\frac{y}{h}z)$ (из подобия треугольников).

Распишите подробнее.

[ihq.pl]

Gladiator1995 в сообщении #1396832 писал(а):

1) Почему коническая поверхность имеет именно уравнение $G(x,y,z)=z^{2}F(\frac{x}{z}h,\frac{y}{z}h)=0$?

Вам надо проверить, что поверхность $G(x,y,z)=0$ образована прямыми, идущими через точки эллипса - равносильно тому, что любая точка пов-ти лежит на прямой из вершины в точку эллипса.