Отыскание функций f(nx)=n^a*f(x)

[e7e5]

Такой вопросик:
Нужно найти все $f(x)$ - каждая имеет непрерывную производную на множестве $R$, и удовлетворяющих тождеству $f(nx)$=n$f(x)$, $x$ принадлежит $R$, n -натуральные числа.

Начал с того, что прямые: $f(x)$=$ax$ подходят прямой проверкой.
Например при $n$=2
как доказать, что других функций нет?

[AD]

e7e5 писал(а):

Например при $n$=2

А при $n=1$ любая функция удовлетворяет условиям. Может, требуется, чтобы при всех $n\in\mathbb{N}$ удовлетворяли?

[e7e5]

AD писал(а):

Может, требуется, чтобы при всех $n\in\mathbb{N}$ удовлетворяли?

при всех $n\in\mathbb{N}$
и в отдельности для любого натурального числа

[Someone]

Если $n>1$ - фиксированное натуральное число, то, кажется, тоже таких функций много. Например, рассмотрим на отрезке $[1,n]$ дифференцируемую функцию $\varphi(x)$, удовлетворяющую условиям $\varphi(1)=\varphi'(1)=\varphi(n)=\varphi'(n)=0$, и определим функцию $f(x)=n^m\varphi\left(\frac{|x|}{n^m}\right)$, если $|x|\in\left[n^m,n^{m+1}\right]$, $m\in\mathbb Z$.

Добавлено спустя 3 минуты 4 секунды:

А если условие $f(nx)=nf(x)$ должно выполняться для всех $n\in\mathbb N$, то положите $a=f(1)$ и попробуйте для начала определить $f\left(\frac mn\right)$ для всех $m,n\in\mathbb N$.

[id]

$\forall n\in\mathbb{N}: f(x) = nf(\frac x n) \Rightarrow $
$f'(x) = nf'(\frac x n)\frac 1 n = f'(\frac x n)$?

А производная по условию непрерывна.

[e7e5]

Someone писал(а):

А если условие $f(nx)=nf(x)$ должно выполняться для всех $n\in\mathbb N$, то положите $a=f(1)$ и попробуйте для начала определить $f\left(\frac mn\right)$ для всех $m,n\in\mathbb N$.

Если $x=0$, то $f(0)$=0 из условия получается, так?
$nf^'(nx)$=$nf^'(x)$,
$f^'(nx)$=$f^'(x)$, смотрим к чему стремится $x/n^l$ при $l$ стремящемся к бесконечности, - к нулю: $f^'(0)$=$f^'(x)$
...
получаются прямые и все?

[id]

e7e5
Нулевое значение в нуле получается даже без условия о непрерывности производной. А вот прямые, проходящие через 0, уже с ним.

P.S. Первую строчку Вашего решения не понял.
P.P.S. А, понятно.

[Someone]

Когда пишете штрих для производной, не пишите "^", будет лучше: $f'(x)$.

$f'(x)$

Мне кажется, что для решения задачи почти достаточно непрерывности самой функции (но всё-таки чуть-чуть недостаточно), а непрерывность производной вообще не нужна. Хватает просто существования производной (из этого уже следует непрерывность функции).

[id]

Someone
А как без непрерывности производной доказать, что производная во всех точках одинакова?

P.S. Помню, в похожей задаче ( только условие на функцию было вида $f(x+y) = f(x) + f(y)$ ) можно было без этого обойтись, но там аддитивность была, можно было на $\mathbb{Q}$ определить и продолжить.

[Someone]

Не надо доказывать, что производная везде одинаковая.

Здесь тоже на $\mathbb Q$ можно определить. Полагаем $a=f(1)$. Тогда $nf\left(\frac 1n\right)=f\left(n\cdot\frac 1n\right)=f(1)=a$, поэтому $f\left(\frac 1n\right)=\frac an$. Отсюда $f\left(\frac mn\right)=mf\left(\frac 1n\right)=a\cdot\frac mn$ (везде $m,n\in\mathbb N$). Таким образом, для всех рациональных $x>0$ получилось $f(x)=ax$. Если функция непрерывна, то получаем $f(x)=ax$ для всех действительных $x\geqslant 0$.
Теперь полагаем $b=f(-1)$ и так же доказываем, что $f(x)=bx$ для всех действительных $x\leqslant 0$.
Чтобы доказать равенство $a=b$, достаточно существования производной в точке $x=0$.

Поэтому в задаче достаточно существования производной во всех точках (без непрерывности) или непрерывности самой функции во всех точках и существования производной в нуле.

[id]

Someone
Понятно, спасибо за разъяснение.

[AD]

А еще вот здесь http://dxdy.ru/topic10257.html я задавал чем-то похожие вопросы, может, заинтересует.

[e7e5]

e7e5 писал(а):

Такой вопросик:
Нужно найти все $f(x)$ - каждая имеет непрерывную производную на множестве $R$, и удовлетворяющих тождеству $f(nx)$=n$f(x)$, $x$ принадлежит $R$, n -натуральные числа.

Если поменять чуть условие: для тождества $f(n^2*x)$=$n^2$$f(x)$ ?

[Mikhail Sokolov]

Ответ абсолютно тот же, что написал Someone. В предыдущем случае для получения непрерывного решения достаточно было воспользоваться тем фактом, что рациональные числа всюду плотны в $R$, теперь аналогичный факт требуется установить для их квадратов.
Вместо непрерывности для получения того же результата можно было также потребовать монотонность $f$.

[e7e5]

Mikhail Sokolov писал(а):

Ответ абсолютно тот же, что написал Someone.

Хорошо.
Изменю вопрос. Как нужно модифицировать исходное тождество в условии, чтобы искомыми функции были не прямые, а скажем $ax^2$ или какая-то другая "простая" элементарная функция?