Уравнение в целых числах

[nnosipov]

Iam в сообщении #1395855 писал(а):

У меня ход мысли по задаче был такой.
$y^3=2x^2+1$;
$(y-1)(y^2+y+1)=2x^2$;
$y-1=2c^2$;
$y^2+y+1=a^2,ac=x$.

Эти рассуждения верны только в случае, когда $y-1$ не делится на $3$. Иначе $\gcd{(y-1,y^2+y+1)}=3$ и тогда $y-1=6c^2$, $y^2+y+1=3a^2$. Мне кажется, дальше эту ситуацию разрулить школьными методами будет очень трудно.

[Iam]

nnosipov в сообщении #1395869 писал(а):

Эти рассуждения верны только в случае, когда $y-1$ не делится на $3$. Иначе $\gcd{(y-1,y^2+y+1)}=3$ и тогда $y-1=6c^2$, $y^2+y+1=3a^2$. Мне кажется, дальше эту ситуацию разрулить школьными методами будет очень трудно.

nnosipov. сам не понял, когда заклинило. Это у меня было в п. "1) при $z\ne 0 \mod 3$". П. 2) при $z= 0 \mod 3$, действительно, было громоздко, некрсиво и, возможно, с погрешностями. Все-таки попытаюсь разрулить.

[alcoholist]

Iam в сообщении #1396037 писал(а):

Все-таки попытаюсь разрулить

Зачем? Есть же повод освоить новую технику!

[DeBill]

Iam
Ну, я поначалу - до подсказки с факториальным кольцом - тоже в этом направлении гулял. Только там - проблемы, ибо пара $y-1, y^2+y+1$ может общим делителем иметь число 3. И тогда будет $y^2+y+1=3a^2$. Подходит, например, $y=22,a=13$. Или $y= 60817, a=35113$
Далее я нашел все решения этого уравнения (их, блин, бесконечно много: домножение уравнения на 4 сводит его к уравнению Пелля). Но все они - не удовлетворяют другому уравнению (но доказать это не получалось)...Тут то я и сдулся.

[Iam]

DeBill в сообщении #1396104 писал(а):

И тогда будет $y^2+y+1=3a^2$. Подходит, например, $y=22,a=13$. Или $y= 60817, a=35113$

DeBill, ясно, что уравнение в таком виде является достаточным, но не необходимым условием решения исходного уравнения. Если его использовать как фильтр для предварительной отбраковки, то он слишком широк. При замене $y-1=6z^2$ приходим к уравнению $12z^4+6z^2+1=a^2$, которое эквивалентно исходному.
Задача очень красива и пока не понятна ее увязка с известными задачами типа: $x^3+x+a=y^2, x^3-x+a=y^2, x^2+x+1=y^3$... Некоторые решаются просто, некоторые – на основе сведения к уравнению Морделла (например, вида $x^2+48=y^3$). Думаю, что использование свойств факториальности $Z[\sqrt {-2}]$ существенно прояснит вопрос.

[nnosipov]

Iam в сообщении #1396138 писал(а):

приходим к уравнению $12z^4+6z^2+1=a^2$, которое эквивалентно исходному

Кстати, здесь левая часть факторизуется над полем $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, и кольцо целых чисел этого поля тоже факториально. Не уверен, что это поможет, но попробовать можно.

-- Ср май 29, 2019 10:12:31 --

Iam в сообщении #1396138 писал(а):

с известными задачами типа: $x^3+x+a=y^2, x^3-x+a=y^2, x^2+x+1=y^3$

Первые два уравнения вызывают интерес. А чем они известны? Нельзя ли поподробнее?

[Iam]

nnosipov, решение $12z^4+6z^2+1=a^2$ непосредственно вытекает из методики факторизации (из условия его эквивалентности исходному), которое Вами уже получено. Решение с другого конца, наверное, посложнее.

nnosipov в сообщении #1396165 писал(а):

А чем они известны? Нельзя ли поподробнее?

Точнее сказать «не известны» а «рассматривались». Задача $x^3+x+4=y^2$ предлагалась на форуме [url]http://math.hashcode.ru/questions/177684/математика-уравнение-в-натуральных-числах[/url] , где после некоторой временной паузы появился комментарий «Полагаю, что решив ваше уравнение, можно написать научную статью».
По $ m^2+m+1=n^3 $ (то же, что $m^2-m+1=n^3$)
[url]http://math.hashcode.ru/questions/17004/алгебра-уравнение-в-натуральных-числах[/url], https://math.stackexchange.com/questions/1757679/diophantine-equation-n2n1-m3
на основе сведения к уравнению Морделла (для 48) и для простых m, n элементарное решение на
[url]http://math.hashcode.ru/questions/16950/алгебра-найти-все-простые-числа-подходящие-под-условие[/url] . Если еще что-то увижу – сообщу.

(Оффтоп)

Почему-то не все ссылки срабатывают.

[nnosipov]

Iam
Спасибо, почитаю.