2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение28.05.2019, 07:21 
Заслуженный участник


20/12/10
9072
Iam в сообщении #1395855 писал(а):
У меня ход мысли по задаче был такой.
$y^3=2x^2+1$;
$(y-1)(y^2+y+1)=2x^2$;
$y-1=2c^2$;
$y^2+y+1=a^2,ac=x$.
Эти рассуждения верны только в случае, когда $y-1$ не делится на $3$. Иначе $\gcd{(y-1,y^2+y+1)}=3$ и тогда $y-1=6c^2$, $y^2+y+1=3a^2$. Мне кажется, дальше эту ситуацию разрулить школьными методами будет очень трудно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение28.05.2019, 20:09 


01/11/14
195
nnosipov в сообщении #1395869 писал(а):
Эти рассуждения верны только в случае, когда $y-1$ не делится на $3$. Иначе $\gcd{(y-1,y^2+y+1)}=3$ и тогда $y-1=6c^2$, $y^2+y+1=3a^2$. Мне кажется, дальше эту ситуацию разрулить школьными методами будет очень трудно.

nnosipov. сам не понял, когда заклинило. Это у меня было в п. "1) при $z\ne 0 \mod 3$". П. 2) при $z= 0 \mod 3$, действительно, было громоздко, некрсиво и, возможно, с погрешностями. Все-таки попытаюсь разрулить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение28.05.2019, 20:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Iam в сообщении #1396037 писал(а):
Все-таки попытаюсь разрулить

Зачем? Есть же повод освоить новую технику!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение28.05.2019, 23:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Iam
Ну, я поначалу - до подсказки с факториальным кольцом - тоже в этом направлении гулял. Только там - проблемы, ибо пара $y-1, y^2+y+1$ может общим делителем иметь число 3. И тогда будет $y^2+y+1=3a^2$. Подходит, например, $y=22,a=13$. Или $y= 60817, a=35113$ :D
Далее я нашел все решения этого уравнения (их, блин, бесконечно много: домножение уравнения на 4 сводит его к уравнению Пелля). Но все они - не удовлетворяют другому уравнению (но доказать это не получалось)...Тут то я и сдулся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение29.05.2019, 00:33 


01/11/14
195
DeBill в сообщении #1396104 писал(а):
И тогда будет $y^2+y+1=3a^2$. Подходит, например, $y=22,a=13$. Или $y= 60817, a=35113$ :D

DeBill, ясно, что уравнение в таком виде является достаточным, но не необходимым условием решения исходного уравнения. Если его использовать как фильтр для предварительной отбраковки, то он слишком широк. При замене $y-1=6z^2$ приходим к уравнению $12z^4+6z^2+1=a^2$, которое эквивалентно исходному.
Задача очень красива и пока не понятна ее увязка с известными задачами типа: $x^3+x+a=y^2, x^3-x+a=y^2, x^2+x+1=y^3$... Некоторые решаются просто, некоторые – на основе сведения к уравнению Морделла (например, вида $x^2+48=y^3$). Думаю, что использование свойств факториальности $Z[\sqrt {-2}]$ существенно прояснит вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение29.05.2019, 06:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9072
Iam в сообщении #1396138 писал(а):
приходим к уравнению $12z^4+6z^2+1=a^2$, которое эквивалентно исходному
Кстати, здесь левая часть факторизуется над полем $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$, и кольцо целых чисел этого поля тоже факториально. Не уверен, что это поможет, но попробовать можно.

-- Ср май 29, 2019 10:12:31 --

Iam в сообщении #1396138 писал(а):
с известными задачами типа: $x^3+x+a=y^2, x^3-x+a=y^2, x^2+x+1=y^3$
Первые два уравнения вызывают интерес. А чем они известны? Нельзя ли поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение29.05.2019, 16:20 


01/11/14
195
nnosipov, решение $12z^4+6z^2+1=a^2$ непосредственно вытекает из методики факторизации (из условия его эквивалентности исходному), которое Вами уже получено. Решение с другого конца, наверное, посложнее.
nnosipov в сообщении #1396165 писал(а):
А чем они известны? Нельзя ли поподробнее?

Точнее сказать «не известны» а «рассматривались». Задача $x^3+x+4=y^2$ предлагалась на форуме [url]http://math.hashcode.ru/questions/177684/математика-уравнение-в-натуральных-числах[/url] , где после некоторой временной паузы появился комментарий «Полагаю, что решив ваше уравнение, можно написать научную статью».
По $ m^2+m+1=n^3 $ (то же, что $m^2-m+1=n^3$)
[url]http://math.hashcode.ru/questions/17004/алгебра-уравнение-в-натуральных-числах[/url], https://math.stackexchange.com/questions/1757679/diophantine-equation-n2n1-m3
на основе сведения к уравнению Морделла (для 48) и для простых m, n элементарное решение на
[url]http://math.hashcode.ru/questions/16950/алгебра-найти-все-простые-числа-подходящие-под-условие[/url] . Если еще что-то увижу – сообщу.

(Оффтоп)

Почему-то не все ссылки срабатывают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых числах
Сообщение29.05.2019, 16:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9072
Iam
Спасибо, почитаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group