аппроксимация многомерных функций

[granit201z]

Пусть дана некоторая неизвестная функция, которая ставит в соответствие одной паре чисел другую пару чисел (в более общем виде не пару, а $n$ чисел). Для упрощения задачи все числа приведены к значениям от 0 до 1. Например, $(0, a_i b_i; 0, c_i d_i) \to (0, e_i f_i; 0, g_i h_i)$. Нам известна некоторая выборка таких соответствий. И по ним мы пытаемся аппроксимировать эту неизвестную функцию. Что "сломается" в аппроксимации, если мы многомерные входы и многомерные выходы приведем к одномерным "растворением" друг в друге, т.е. будем исследовать соответствие: $(0, a_i c_i b_i d_i) \to (0, e_i g_i f_i h_i)$? Будет ли такое одномерное соответствие адекватным исходному многомерному?

[granit201z]

тут еще некоторая проблема с "растворением". Не пойму как это сделать алгебраически. Некоторые идеи, конечно, есть, но они какие-то не завершенные. В общем, провел такое наблюдение:

Допустим есть два числа $( 0,35; 0,24 )$. Очевидно, чтобы растворить второе в первом нужно сложить $0,305+0,0204$. Вопрос: Как из $0,35$ получить $0,305$. Задумался и не знаю как, но размышления вывели меня на такой алгоритм:
1) $3+5 =8$
2) $8/10=0,8$
3) $0,8-0,35=0,45$
4) $0,45/10=0,045$
5) $0,35-0,045=0,305$
Для второго числа все почти то же самое, но добавляется еще одно деление на 10:
1) $2+4 =6$
2) $6/10=0,6$
3) $0,6-0,24=0,36$
4) $0,36/10=0,036$
5) $0,24-0,036=0,204$
6) $0,204/10=0,0204$

Попытался обосновать это свое наблюдение для более общего случая - вот что получилось:

$0,ab-\frac{\frac{a+b}{10} - 0,ab}{10} = 0 , a 0 b$

или:

$\frac{10a+b}{100}-\frac{\frac{a+b}{10}-\frac{10a+b}{100}}{10} = \frac{100a+10b}{1000}-\frac{10a+10b-10a-b}{1000} = \frac{100a+b}{1000} = 0,a + 0,00 b = 0,a 0b$

А дальше у меня 2 тупика:
1) Пока что это подходит только для случая с числами, имеющими только два знака после запятой. Для более общего вида у меня нет алгоритма
2) Задавшись числом (пусть даже и с двумя знаками после запятой), я не знаю как алгебраически получить для него $a+b$

[Someone]

Ваше "растворение" перемешивает числа так, что от первоначальной функции практически ничего не остаётся. А Вы ещё и не заботитесь о взаимной однозначности этого самого "растворения".

[iifat]

granit201z в сообщении #1395337 писал(а):

Будет ли такое одномерное соответствие адекватным исходному многомерному?

При соответствующем определении термина «адекватность соответствия функций» — будет, разумеется. При несоответствующем — не будет. Безо всякого определения — таки просто шум ветра за окном.
И да, попытка выразить «растворение» алгебраически — полная безнадёга (а для иррациональных чисел — безнадёга принципиальная), имхо.

[granit201z]

Someone в сообщении #1395455 писал(а):

А Вы ещё и не заботитесь о взаимной однозначности этого самого "растворения".

Не отрицаю, что я многого не знаю. А из того, что "знаю" - часть "знаний" не верна. Поэтому, вполне вероятно, могу неправильно Вас понять. Вы сейчас о том, что записи чисел, например $0,(9)$ и $1,(0)$ - представляют одно и то же число?

[granit201z]

iifat в сообщении #1395458 писал(а):

И да, попытка выразить «растворение» алгебраически — полная безнадёга

Возможно. Но мне кажется что нет.

granit201z в сообщении #1395433 писал(а):

Задавшись числом (пусть даже и с двумя знаками после запятой), я не знаю как алгебраически получить для него $a+b$

Я нашел способ получить $a+b$
Для этого нужно взять число $0,ab$, умножить его на $10$ и взять целую часть (получим $a$). Отнять ее от этого умноженного числа - полученное опять умножить на $10$ и снова взять целую часть (получим $b$)
А взятие целой части от произвольного числа я практически выразил - осталось лишь чуть-чуть "причесать":

[arseniiv]

granit201z
Ну а если взять произвольно много знаков, будет уже плохо.

-- Ср сен 18, 2019 02:05:35 --

Плюс вместо кучи тригонометрических функций можно было бы честно использовать модуль и функцию дробной части, или сразу функцию взятия целой части, а то и пола (floor) $\lfloor \ldots\rfloor$.

[granit201z]

arseniiv в сообщении #1415573 писал(а):

Ну а если взять произвольно много знаков, будет уже плохо.

почему?

arseniiv в сообщении #1415573 писал(а):

функцию дробной части, или сразу функцию взятия целой части

но это же не так красиво и к тому же менее "математично"

[arseniiv]

Ну значит у вас вредное понятие такой математичности, которое будет вас тормозить. На мой взгляд.

granit201z в сообщении #1415574 писал(а):

почему?

Ну добавьте ещё две цифры и потом ещё две и посмотрите как усложняются выражения. И как неудобнее с ними становится работать.

[Andrey_Kireew]

granit201z в сообщении #1395433 писал(а):

$0,305+0,0204$

Если числа конечной разрядности, то можно сделать что то подобное механическим объединением бит в произвольном порядке. Формально, да, получится одно число, но большей разрядности. Но радости от этого мало. Дело в том, что после такого перемешивания, гладкость, если она имело место быть, будет потеряна и аппроксимировать данные какой либо гладкой функцией не получится.

[DeBill]

granit201z
В принципе, общими словесами Вашу идею можно выразить так: точек на квадрате - столько же, сколько на отрезке. Поэтому всякое "двумерное" отображение можно переписать в виде "одномерного" (а Ваше "перемешивание" - просто конкретная реализация такого "переписывания"). Но...

Andrey_Kireew в сообщении #1415590 писал(а):

Но радости от этого мало. Дело в том, что после такого перемешивания, гладкость, если она имело место быть, будет потеряна и аппроксимировать данные какой либо гладкой функцией не получится.

Более того - не получится даже непрерывной функции - даже если исходная была всюду непрерывной, "переписанная" будет, вообще говоря, всюду разрывной. И вот это уже - беда, ибо в реальном мире все приближенно, и право на существование имеют лишь непрерывные функции.
Тем не менее, чуток в менее ограничительной ситуации идея работает. Именно, Колмогоров-Арнольд показали, что непрерывная функция трех (а тогда и 100) переменных всегда выражается через непрерывные функции ДВУХ переменных (но - не ОДНОЙ).

[granit201z]

DeBill в сообщении #1415600 писал(а):

Тем не менее, чуток в менее ограничительной ситуации идея работает. Именно, Колмогоров-Арнольд показали, что непрерывная функция трех (а тогда и 100) переменных всегда выражается через непрерывные функции ДВУХ переменных (но - не ОДНОЙ).

то есть любую непрерывную функцию N переменных можно представить как некоторую поверхность в 3-х мерном пространстве? А можно пожалуйста какой-нибудь учебник по этой теме (в котором имеется и расписана данная теорема)?

[Brukvalub]

granit201z в сообщении #1415631 писал(а):

то есть любую непрерывную функцию N переменных можно представить как некоторую поверхность в 3-х мерном пространстве?

Нигде не написано, что в композиции все функции 2-х переменных зависят от одних и тех же независимых переменных.

[Andrey_Kireew]

DeBill в сообщении #1415600 писал(а):

Тем не менее, чуток в менее ограничительной ситуации идея работает. Именно, Колмогоров-Арнольд показали, что непрерывная функция трех (а тогда и 100) переменных всегда выражается через непрерывные функции ДВУХ переменных

Это уже совсем не та идея, что предложил ТС. Понятно, что если многомерная функция существует, то существует и её выражение, весь вопрос в том как оно выглядит и насколько просто его получить. В данном случае смотреть в сторону нейросетей нерационально, переменных всего 2, на мой взгляд, намного предпочтительнее будет использовать 2-х мерные полиномы.

[granit201z]

Brukvalub в сообщении #1415640 писал(а):

Нигде не написано, что в композиции все функции 2-х переменных зависят от одних и тех же независимых переменных.

Я поэтому и попросил учебник. В учебниках обычно все подробно расписано и с примерами. Из них мне гораздо понятнее чем из статей в википедии

Andrey_Kireew в сообщении #1415647 писал(а):

Это уже совсем не та идея, что предложил ТС.

Тем не менее это тоже очень интересно