Пространства гладких функций

[Slav-27]

Пусть $\mathscr E (\mathbb R^n)$ -- пространство бесконечно гладких функций $\mathbb R^n\to \mathbb R$ с обычной топологией ($f_i\to f \Longleftrightarrow$ для любого компактного подмножества $K\subset \mathbb R^n$ и любого мультииндекса $\alpha$ последовательность $\partial^\alpha f_i$ сходится к $\partial^\alpha f$ равномерно на $K$).

Для компактного подмножества $K\subset \mathbb R^m$ обозначим $\mathscr D_K\subset \mathscr E (\mathbb R^m)$ подпространство, состоящее из функций, у которых носитель содержится в $K$ (с индуцированной топологией).

Теперь пусть $K\subset \mathbb R^m, L\subset \mathbb R^n$ -- компактные подмножества; обозначим $\mathscr D_K\otimes \mathscr D_L\subset \mathscr E(\mathbb R^{m+n})$ подпространство, состоящее из всевозможных конечных сумм функций вида $f(x)g(y)$, где $f\in\mathscr D_K, g\in\mathscr D_L$.

Правда ли, что $\mathscr D_K\otimes \mathscr D_L$ плотно в $\mathscr D_{K\times L}$?
То есть верно ли, что к любой функции $h(x,y)$ из $\mathscr D_{K\times L}$ сходится последовательность функций $h_i(x,y)$, где $h_i\in \mathscr D_K\otimes\mathscr D_L$?

-------
Известно, что к любой функции $h\in\mathscr D_{K\times L}$ сходится (в топологии $\mathscr E$) некоторая последовательность многочленов $p_i$ (это вариант теоремы Вейерштрасса). Многочлены имеют требуемый вид $\sum\limits_{i=1}^kf_i(x)g_i(y)$, но носители у этих $f_i$ и $g_i$, естественно, некомпактные.

Понятно, как организовать последовательность, у которой носители $f_i$ компактны и содержатся в произвольной фиксированной открытой окрестности $U$ множества $K$ (а у $g_i$ -- в открытой окрестности $V$ множества $L$). А именно, можно взять гладкую функцию $a(x)$, равную единице на $K$ и нулю вне $U$, и гладкую функцию $b(y)$, равную единице на $L$ и нулю вне $V$; последовательность функций $a(x)b(y)p_i(x,y)$ будет удовлетворять всем требуемым условиям (сходимость не испортится, потому что $a$ и $b$ от не зависят от $i$).

А вот как сделать, чтобы носители были не просто в окрестости $K$ и $L$, а строго в $K$ и в $L$?

Конечно, можно считать, что $K$ и $L$ совпадают с замыканиями своих внутренностей (в остальных точках всё равно все функции из $\mathscr D_K$ и $\mathscr D_L$ равны нулю).

[pogulyat_vyshel]

Slav-27 в сообщении #1395196 писал(а):

Правда ли, что $\mathscr D_K\otimes \mathscr D_L$ плотно в $\mathscr D_{K\times L}$?

Правда. см Иосида Функциональный анализ

[Slav-27]

pogulyat_vyshel в сообщении #1395281 писал(а):

Правда. см Иосида Функциональный анализ

Я там вижу только что $\mathscr D(\mathbb R^m)\otimes \mathscr D(\mathbb R^n)$ плотно в $\mathscr D(\mathbb R^{m+n})$ (п. 14 "Прямое произведение обобщённых функций", теорема 1). Это я и так знаю, но как отсюда следует моё утверждение?

-- 25.05.2019, 22:58 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1395290 писал(а):

а чем ваше утверждение отличается от того, что там написано?

У меня есть гладкая функция $h(x,y)$, у которой носитель содержится в $K\times L$. Там написано, что к этой функции сходится последовательность гладких функций $h_i$, таких что каждая из них представляется в виде $h_i(x,y)=\sum\limits_{j=1}^{k}f_j(x)g_j(y)$, где $f_j$ и $g_j$ -- функции с компактными носителями (в $\mathbb R^m$ и в $\mathbb R^n$ соответственно). Я хочу, чтобы были не просто какие-то там компактные носители, а чтобы у всех $f_i$ носитель содержался в $K$, а у $g_i$ -- в $L$.

$K$ и $L$ компактные.

[pogulyat_vyshel]

а это я что-то просмотрел, что у вас там компактные подмножества ,пардон.

[g______d]

Сорри, я вместо Вашего обозначения буду писать $C_0^{\infty}$.

Достаточно доказать (такими же рассуждениями), что $C_0^{\infty}(K^o)$ плотно в $C_0^{\infty}(K)$, где $K^o$ обозначает внутренность $K$. Другими словами, достаточно доказать, что функцию из $C_0^{\infty}(\mathbb R^n)$, носитель которой содержится в $K$, можно аппроксимировать в топологии $C_0^{\infty}(\mathbb R^n)$ функциями, носитель которых строго внутри внутренности $K$.

Пусть $K_{\varepsilon}=\{x\in K\colon\mathrm{dist}(x,\partial K)\geqslant \varepsilon\}$. Существует гладкая функция $h_{\varepsilon}\in C_0^{\infty}(\mathbb R^n)$, такая что $h_{\varepsilon}(x)=1$ на $K_{\varepsilon}$, $h_{\varepsilon}(x)=0$ на $\mathbb R^n\setminus K_{\varepsilon/2}$, и для всех $x$ верно $0\leqslant h_{\varepsilon}(x)\leqslant 1$. Кроме того, мы хотим, чтобы её производные не слишком сильно росли при $\varepsilon\to 0$. Достаточно, наверное, такой конструкции: рассмотрим индикаторную функцию множества $K_{3\varepsilon/2}$ и расмотрим её усреднение на масштабе $\varepsilon/100$ (т. е. свернём её с функцией $\varphi_{\varepsilon}(x)=(\varepsilon/100)^{-n} \varphi(x/(\varepsilon/100))$, где $\varphi$ -- гладкая неотрицательная функция с носителем в единичном шаре, с интегралом единица).

Далее, утверждается, что если $f\in C_0^{\infty}(K)$, то $h_\varepsilon f$ сходятся к $f$ в топологии $C_0^{\infty}$. Заметим, что это так сразу не очевидно, потому что производные $h_{\varepsilon}$ растут при приближении к границе. Но мне кажется, что верна такая лемма: если $f\in C_0^{\infty}(\mathbb R^n)$ и $f=0$ на компакте $Q$, то любая производная $f$ убывает быстрее любой степени расстояния до $Q$ при приближении к $Q$. Другими словами,

$$ |\partial^{\alpha}f(x)|\le C_{f,\alpha,Q,n}\mathrm{dist}(x,Q)^n. $$

Далее, нужно взять $Q=\partial K$, и этого должно быть достаточно, потому что никакое конечное число производных $h_{\varepsilon}$ не забьёт это убывание.

-- Сб, 25 май 2019 13:05:10 --

Лемма в конце, кстати, несложно доказывается: для каждой конкретной точки $Q$ можно написать явную оценку сверху, используя формулу Тейлора с интегральным остатком, и коэффициент будет непрерывен как функция точки на $Q$.

[Slav-27]

g______d
Спасибо, всё работает!