Сумма квадратов, равная факториалу

[Ktina]

Сумма квадратов $n$ простых чисел, каждое из которых больше 3, равна факториалу некоторого натурального числа. При каком наименьшем $n$ такое возможно?

[Fedorov]

Наверное при $ n = 10$.

[Ktina]

Fedorov в сообщении #1389089 писал(а):

Наверное при $ n = 10$.

Неужели и пример можете привести?!

[Ktina]

Fedorov
10 не может быть, так как квадрат нечётного числа даёт остаток 1 при делении на 8.

[waxtep]

Как-то меньше $24$ не выходит, например $10!=7\cdot(6!)^2=3\cdot709^2+4\cdot727^2+79^2+16\cdot5^2$

[Ktina]

waxtep
Действительно, не выходит, и доказывается в одну строчку.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #1389314 писал(а):

и доказывается в одну строчку.

Еще бы, $p^2 \equiv 1 \pmod{24}$ при простом $p>3$.

[Ktina]

nnosipov
100%, и пример для $n=24$ легко строится.

[dimkadimon]

Интересно, а есть ли решение для различных простых?

[dimkadimon]

Решил свою задачу:

$9! = 362880 = 5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2+31^2+37^2+41^2+43^2+47^2+53^2+59^2+61^2+67^2+71^2+73^2+79^2+83^2+277^2+283^2+397^2$

Если можно использовать любые простые тогда есть меньше решение:

$8! = 40320 = 2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2+19^2+23^2+29^2+41^2+59^2+181^2$

-- 10.05.2019, 22:56 --

Можно даже с кубами:

$10! = 3628800 = 5^3+19^3+29^3+37^3+47^3+151^3$

-- 10.05.2019, 22:59 --

Или даже так :)

$12! = 479001600 = 3^4+5^4+ 7^4+ 11^4+ 17^4+ 19^4+ 29^4+ 31^4+ 37^4+ 47^4+ 53^4+ 59^4+ 73^4+ 79^4+ 97^4+ 131^4$

[dimkadimon]

До сих пор не могу найти факториал равный сумме разных простых в пятой степени. Кто может помочь?

[Dmitriy40]

dimkadimon
Держите:

Используется синтаксис Text

15!=241^5+199^5+163^5+139^5+97^5+89^5+61^5+53^5+41^5+37^5+31^5+19^5+17^5+13^5
15!=241^5+181^5+167^5+137^5+131^5+113^5+109^5+107^5+103^5+101^5+97^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5+29^5+23^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=241^5+181^5+163^5+151^5+131^5+113^5+107^5+103^5+101^5+89^5+83^5+71^5+61^5+59^5+53^5+47^5+41^5+37^5+17^5+13^5+11^5+7^5+5^5+3^5+2^5
15!=241^5+179^5+167^5+157^5+127^5+109^5+107^5+103^5+97^5+71^5+61^5+47^5+37^5+31^5+29^5+23^5+19^5+17^5+11^5+7^5+5^5+3^5+2^5
15!=239^5+179^5+157^5+151^5+137^5+127^5+113^5+109^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+73^5+67^5+59^5+53^5+41^5+37^5+31^5+29^5+19^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=233^5+191^5+173^5+163^5+131^5+113^5+107^5+103^5+89^5+83^5+79^5+59^5+53^5+47^5+43^5+13^5
15!=233^5+191^5+173^5+151^5+139^5+131^5+113^5+103^5+89^5+83^5+73^5+59^5+53^5+37^5+23^5+19^5+7^5+3^5
15!=233^5+179^5+173^5+157^5+139^5+137^5+127^5+109^5+107^5+97^5+89^5+79^5+73^5+71^5+67^5+61^5+53^5+47^5+43^5+37^5+31^5+29^5+17^5+5^5
15!=233^5+179^5+163^5+157^5+149^5+137^5+127^5+109^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+79^5+73^5+59^5+47^5+41^5+37^5+31^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=229^5+197^5+181^5+139^5+137^5+113^5+109^5+107^5+101^5+97^5+89^5+83^5+79^5+73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+47^5+43^5+37^5+29^5+7^5+5^5
15!=229^5+197^5+157^5+151^5+139^5+137^5+127^5+113^5+109^5+107^5+101^5+97^5+79^5+71^5+61^5+59^5+53^5+47^5+37^5+29^5+23^5+19^5+13^5+5^5
15!=229^5+193^5+181^5+151^5+139^5+127^5+107^5+103^5+101^5+97^5+79^5+71^5+67^5+61^5+53^5+41^5+37^5+31^5+23^5+17^5+7^5+5^5
15!=229^5+193^5+167^5+157^5+149^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+83^5+73^5+67^5+61^5+59^5+53^5+47^5+37^5+19^5+17^5+7^5+5^5
15!=229^5+193^5+167^5+157^5+137^5+131^5+127^5+113^5+107^5+103^5+97^5+89^5+79^5+73^5+59^5+53^5+47^5+41^5+37^5+31^5+29^5+19^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=229^5+193^5+163^5+157^5+139^5+137^5+127^5+113^5+109^5+101^5+97^5+83^5+79^5+73^5+71^5+67^5+61^5+53^5+37^5+13^5+11^5+7^5+5^5+3^5+2^5
15!=229^5+181^5+179^5+157^5+149^5+137^5+127^5+107^5+103^5+97^5+89^5+83^5+73^5+71^5+61^5+59^5+47^5+43^5+41^5+37^5+29^5+19^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=229^5+181^5+167^5+157^5+149^5+139^5+137^5+131^5+107^5+101^5+97^5+89^5+79^5+73^5+67^5+59^5+43^5+37^5+31^5+29^5+23^5+17^5+13^5+5^5
15!=229^5+181^5+167^5+157^5+149^5+139^5+137^5+127^5+113^5+107^5+97^5+89^5+73^5+67^5+61^5+53^5+47^5+43^5+31^5+29^5+19^5+17^5+13^5+7^5+5^5+3^5
15!=229^5+181^5+157^5+151^5+149^5+139^5+137^5+131^5+127^5+113^5+109^5+107^5+97^5+89^5+73^5+47^5+43^5+37^5+29^5+7^5+5^5+3^5
15!=229^5+179^5+167^5+157^5+149^5+139^5+137^5+131^5+109^5+103^5+101^5+97^5+89^5+73^5+67^5+61^5+53^5+47^5+41^5+19^5+7^5+5^5
15!=229^5+173^5+167^5+163^5+157^5+151^5+127^5+109^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+79^5+61^5+59^5+53^5+47^5+37^5+29^5+17^5+5^5
15!=227^5+199^5+179^5+163^5+139^5+127^5+83^5+73^5+71^5+59^5+53^5+43^5+19^5+5^5
15!=227^5+197^5+181^5+157^5+137^5+127^5+107^5+103^5+97^5+67^5+61^5+59^5+43^5+23^5+19^5+17^5+11^5+7^5+5^5+3^5+2^5
15!=227^5+197^5+173^5+163^5+137^5+131^5+107^5+103^5+101^5+97^5+73^5+71^5+67^5+61^5+53^5+41^5+31^5+23^5+13^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=227^5+197^5+163^5+157^5+151^5+137^5+113^5+109^5+103^5+101^5+97^5+83^5+71^5+53^5+47^5+41^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=227^5+193^5+181^5+157^5+137^5+131^5+109^5+107^5+103^5+101^5+89^5+71^5+67^5+47^5+41^5+31^5+29^5+23^5+17^5+13^5+11^5+3^5+2^5
15!=227^5+191^5+173^5+167^5+157^5+127^5+109^5+103^5+97^5+61^5+59^5+47^5+37^5+31^5+19^5+17^5+11^5+7^5+5^5+3^5+2^5
15!=227^5+191^5+173^5+157^5+139^5+137^5+131^5+127^5+113^5+89^5+71^5+67^5+61^5+53^5+41^5+37^5+23^5+17^5+13^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=227^5+181^5+173^5+167^5+157^5+151^5+113^5+109^5+101^5+83^5+71^5+61^5+53^5+47^5+43^5+41^5+37^5+31^5+23^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=227^5+181^5+173^5+167^5+157^5+137^5+131^5+109^5+101^5+97^5+89^5+71^5+61^5+59^5+41^5+31^5+23^5+19^5+11^5+3^5+2^5
15!=227^5+181^5+173^5+167^5+151^5+139^5+137^5+113^5+101^5+97^5+89^5+71^5+67^5+61^5+31^5+29^5+23^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=223^5+199^5+157^5+151^5+149^5+139^5+137^5+127^5+113^5+107^5+101^5+97^5+89^5+79^5+73^5+59^5+53^5+41^5+37^5+17^5+7^5+5^5
15!=223^5+197^5+163^5+157^5+151^5+137^5+131^5+127^5+109^5+107^5+103^5+97^5+61^5+41^5+37^5+31^5+23^5+13^5+7^5+5^5
15!=223^5+193^5+181^5+173^5+149^5+131^5+107^5+89^5+83^5+73^5+59^5+53^5+47^5+43^5+31^5+23^5+19^5+3^5
15!=223^5+193^5+173^5+167^5+163^5+149^5+89^5+83^5+73^5+71^5+59^5+53^5+47^5+43^5+41^5+31^5+19^5+3^5
15!=223^5+193^5+167^5+157^5+149^5+139^5+137^5+131^5+109^5+107^5+97^5+89^5+79^5+73^5+67^5+53^5+47^5+41^5+37^5+31^5+29^5+5^5
15!=223^5+191^5+181^5+173^5+137^5+131^5+113^5+109^5+107^5+101^5+89^5+61^5+59^5+47^5+41^5+37^5+31^5+19^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=223^5+191^5+181^5+157^5+151^5+139^5+127^5+107^5+103^5+101^5+97^5+71^5+67^5+61^5+41^5+37^5+29^5+19^5+13^5+5^5
15!=223^5+191^5+181^5+157^5+151^5+137^5+131^5+113^5+107^5+101^5+71^5+61^5+59^5+53^5+43^5+41^5+19^5+17^5+13^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=223^5+181^5+173^5+167^5+157^5+151^5+137^5+131^5+101^5+73^5+71^5+61^5+59^5+47^5+41^5+31^5+29^5+23^5+13^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=223^5+179^5+173^5+163^5+157^5+139^5+137^5+127^5+113^5+109^5+107^5+101^5+97^5+89^5+61^5+47^5+43^5+37^5+29^5+17^5+7^5+5^5
15!=223^5+179^5+167^5+163^5+157^5+151^5+137^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+89^5+83^5+79^5+73^5+71^5+59^5+47^5+43^5+41^5+31^5+29^5+17^5+7^5+3^5
15!=211^5+199^5+181^5+173^5+167^5+137^5+107^5+103^5+101^5+97^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5+41^5+29^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+199^5+181^5+167^5+157^5+151^5+137^5+101^5+97^5+83^5+79^5+73^5+67^5+61^5+53^5+47^5+31^5+13^5+7^5+5^5
15!=211^5+199^5+181^5+163^5+149^5+139^5+131^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+89^5+83^5+79^5+71^5+67^5+53^5+43^5+41^5+37^5+31^5+23^5+13^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+199^5+167^5+157^5+151^5+149^5+139^5+137^5+131^5+113^5+107^5+103^5+89^5+83^5+79^5+71^5+67^5+61^5+53^5+47^5+41^5+23^5+19^5+3^5
15!=211^5+197^5+193^5+157^5+149^5+137^5+131^5+113^5+109^5+107^5+97^5+89^5+79^5+73^5+67^5+53^5+47^5+37^5+31^5+29^5+23^5+19^5+7^5+5^5
15!=211^5+197^5+191^5+179^5+137^5+131^5+127^5+107^5+101^5+89^5+71^5+67^5+61^5+53^5+43^5+41^5+37^5+29^5+23^5+17^5+5^5+3^5
15!=211^5+197^5+181^5+173^5+167^5+137^5+127^5+107^5+97^5+89^5+71^5+61^5+59^5+53^5+43^5+41^5+37^5+23^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+197^5+181^5+173^5+149^5+139^5+137^5+113^5+109^5+107^5+97^5+89^5+79^5+71^5+67^5+61^5+59^5+37^5+31^5+29^5+19^5+5^5
15!=211^5+197^5+181^5+167^5+157^5+149^5+137^5+131^5+89^5+73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5+41^5+23^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=211^5+197^5+181^5+163^5+157^5+149^5+137^5+131^5+107^5+101^5+71^5+59^5+53^5+43^5+37^5+31^5+29^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+197^5+181^5+157^5+151^5+149^5+139^5+137^5+113^5+101^5+97^5+89^5+79^5+73^5+67^5+59^5+53^5+47^5+29^5+19^5+7^5+5^5
15!=211^5+197^5+179^5+173^5+157^5+139^5+137^5+131^5+101^5+89^5+71^5+67^5+53^5+41^5+37^5+31^5+23^5+17^5+13^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=211^5+193^5+191^5+173^5+163^5+139^5+113^5+107^5+103^5+59^5+53^5+47^5+41^5+29^5+23^5+19^5+13^5+3^5
15!=211^5+193^5+191^5+167^5+149^5+137^5+131^5+127^5+113^5+101^5+97^5+89^5+61^5+47^5+37^5+23^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+193^5+181^5+167^5+157^5+151^5+137^5+131^5+113^5+109^5+71^5+59^5+47^5+41^5+37^5+29^5+23^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+191^5+181^5+179^5+173^5+131^5+127^5+107^5+97^5+89^5+61^5+59^5+53^5+47^5+41^5+37^5+31^5+29^5+17^5+13^5+11^5+3^5+2^5
15!=211^5+191^5+181^5+179^5+157^5+151^5+131^5+113^5+101^5+97^5+83^5+73^5+61^5+47^5+41^5+29^5+23^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=211^5+191^5+181^5+167^5+163^5+139^5+131^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+97^5+83^5+73^5+71^5+59^5+53^5+47^5+43^5+31^5+29^5+23^5+19^5+17^5+13^5+5^5+3^5
15!=211^5+191^5+179^5+173^5+163^5+151^5+149^5+113^5+89^5+83^5+61^5+59^5+23^5+19^5+13^5+3^5
15!=211^5+191^5+173^5+167^5+163^5+149^5+139^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+83^5+71^5+67^5+59^5+47^5+43^5+31^5+29^5+23^5+17^5
15!=211^5+191^5+173^5+167^5+163^5+149^5+137^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+83^5+79^5+73^5+71^5+59^5+47^5+31^5+19^5+7^5+3^5
15!=211^5+181^5+179^5+173^5+167^5+139^5+137^5+131^5+127^5+109^5+107^5+97^5+89^5+83^5+79^5+71^5+61^5+59^5+53^5+47^5+43^5+31^5+23^5+3^5
15!=211^5+181^5+179^5+173^5+157^5+151^5+149^5+137^5+131^5+101^5+97^5+71^5+67^5+29^5+23^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=199^5+197^5+193^5+181^5+139^5+137^5+131^5+127^5+113^5+109^5+107^5+97^5+89^5+71^5+59^5+53^5+37^5+31^5+29^5+19^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=199^5+197^5+193^5+173^5+163^5+139^5+127^5+113^5+109^5+107^5+101^5+97^5+89^5+67^5+61^5+59^5+53^5+47^5+37^5+17^5+7^5+5^5
15!=199^5+197^5+191^5+181^5+167^5+137^5+131^5+113^5+89^5+79^5+73^5+71^5+67^5+61^5+53^5+41^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=199^5+197^5+191^5+181^5+157^5+139^5+127^5+109^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+79^5+59^5+53^5+41^5+37^5+29^5+23^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=199^5+197^5+191^5+173^5+163^5+149^5+131^5+113^5+109^5+101^5+97^5+89^5+71^5+61^5+59^5+53^5+47^5+41^5+29^5+19^5+17^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=199^5+197^5+191^5+163^5+151^5+149^5+137^5+131^5+127^5+113^5+109^5+107^5+79^5+73^5+71^5+67^5+59^5+53^5+47^5+43^5+41^5+31^5+23^5+19^5+17^5+3^5
15!=199^5+197^5+181^5+179^5+157^5+149^5+139^5+137^5+109^5+107^5+103^5+89^5+73^5+71^5+61^5+47^5+43^5+41^5+37^5+19^5+17^5+5^5
15!=199^5+197^5+181^5+173^5+167^5+163^5+137^5+113^5+109^5+97^5+89^5+79^5+73^5+67^5+61^5+59^5+47^5+41^5+31^5+29^5+19^5+17^5+7^5+5^5
15!=199^5+197^5+181^5+167^5+157^5+151^5+149^5+137^5+127^5+113^5+109^5+89^5+79^5+71^5+67^5+53^5+31^5+29^5+19^5+17^5+13^5+5^5
15!=199^5+197^5+181^5+167^5+157^5+151^5+149^5+131^5+127^5+113^5+107^5+103^5+83^5+79^5+71^5+67^5+59^5+53^5+47^5+43^5+31^5+29^5+23^5+17^5+13^5+3^5
15!=199^5+197^5+179^5+173^5+167^5+157^5+137^5+131^5+109^5+103^5+97^5+89^5+79^5+73^5+67^5+43^5+41^5+37^5+31^5+29^5+17^5+5^5
15!=199^5+197^5+179^5+173^5+163^5+151^5+137^5+131^5+127^5+107^5+103^5+97^5+83^5+79^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5+47^5+41^5+23^5+19^5+17^5+13^5+3^5
15!=199^5+197^5+179^5+167^5+163^5+151^5+137^5+131^5+127^5+113^5+107^5+103^5+101^5+89^5+83^5+79^5+73^5+71^5+59^5+31^5+23^5+17^5
15!=199^5+197^5+173^5+167^5+157^5+151^5+149^5+139^5+137^5+127^5+113^5+97^5+89^5+53^5+47^5+43^5+37^5+31^5+29^5+13^5+7^5+5^5
15!=199^5+193^5+191^5+173^5+157^5+149^5+137^5+127^5+113^5+109^5+101^5+97^5+89^5+83^5+73^5+71^5+61^5+59^5+53^5+41^5+37^5+31^5+29^5+17^5+7^5+3^5
15!=199^5+193^5+191^5+167^5+163^5+157^5+139^5+113^5+109^5+107^5+103^5+101^5+83^5+73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5+43^5+41^5+31^5+23^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=199^5+193^5+191^5+167^5+163^5+151^5+139^5+131^5+113^5+103^5+101^5+97^5+83^5+73^5+71^5+67^5+59^5+53^5+43^5+37^5+31^5+29^5+23^5+17^5+13^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=199^5+193^5+181^5+179^5+157^5+151^5+149^5+137^5+107^5+103^5+101^5+97^5+89^5+73^5+61^5+59^5+47^5+29^5+19^5+17^5+7^5+5^5
15!=199^5+193^5+179^5+173^5+167^5+157^5+139^5+137^5+127^5+101^5+97^5+89^5+73^5+71^5+61^5+59^5+53^5+37^5+19^5+17^5+7^5+5^5
15!=199^5+191^5+181^5+179^5+167^5+139^5+137^5+131^5+127^5+109^5+107^5+103^5+101^5+83^5+79^5+71^5+59^5+53^5+41^5+37^5+31^5+29^5+23^5+13^5+7^5+3^5
15!=199^5+181^5+179^5+173^5+167^5+157^5+151^5+149^5+137^5+109^5+97^5+89^5+83^5+73^5+67^5+41^5+37^5+23^5+19^5+17^5+7^5+5^5
15!=197^5+193^5+191^5+181^5+179^5+151^5+101^5+97^5+89^5+83^5+71^5+61^5+59^5+47^5+41^5+37^5+31^5+29^5+19^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=197^5+193^5+191^5+181^5+167^5+157^5+131^5+113^5+97^5+67^5+61^5+59^5+53^5+47^5+43^5+41^5+29^5+23^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=197^5+193^5+191^5+181^5+167^5+157^5+131^5+101^5+97^5+89^5+83^5+61^5+59^5+53^5+47^5+31^5+19^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=197^5+193^5+191^5+181^5+163^5+157^5+127^5+113^5+107^5+101^5+89^5+71^5+59^5+41^5+31^5+29^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=197^5+193^5+191^5+179^5+167^5+157^5+137^5+101^5+97^5+89^5+83^5+71^5+61^5+47^5+43^5+31^5+17^5+13^5+11^5+3^5+2^5
15!=197^5+193^5+191^5+179^5+163^5+137^5+131^5+127^5+113^5+107^5+101^5+97^5+89^5+83^5+79^5+73^5+71^5+67^5+59^5+43^5+31^5+23^5+19^5+17^5+7^5+3^5
15!=197^5+193^5+181^5+179^5+167^5+157^5+139^5+137^5+109^5+97^5+89^5+83^5+79^5+67^5+61^5+59^5+41^5+37^5+31^5+29^5+13^5+7^5+5^5+3^5
15!=197^5+193^5+181^5+179^5+163^5+157^5+139^5+137^5+109^5+107^5+101^5+97^5+83^5+67^5+53^5+47^5+37^5+29^5+23^5+19^5+17^5+13^5+7^5+5^5
15!=197^5+193^5+181^5+179^5+157^5+149^5+139^5+137^5+127^5+113^5+109^5+107^5+103^5+73^5+67^5+47^5+31^5+29^5+17^5+5^5
15!=197^5+193^5+179^5+167^5+163^5+151^5+149^5+137^5+131^5+127^5+113^5+109^5+83^5+71^5+67^5+59^5+53^5+47^5+43^5+41^5+37^5+31^5+23^5+19^5+7^5+3^5
15!=197^5+191^5+181^5+179^5+163^5+157^5+149^5+131^5+127^5+101^5+97^5+83^5+41^5+37^5+23^5+17^5+11^5+3^5+2^5
15!=197^5+191^5+181^5+173^5+167^5+157^5+151^5+149^5+113^5+97^5+71^5+61^5+53^5+47^5+23^5+19^5+17^5+11^5+7^5+3^5+2^5
15!=197^5+181^5+179^5+173^5+167^5+163^5+149^5+139^5+137^5+131^5+113^5+61^5+59^5+53^5+47^5+41^5+37^5+29^5+23^5+17^5+13^5+11^5+5^5+3^5+2^5
15!=193^5+191^5+181^5+173^5+167^5+163^5+151^5+139^5+109^5+107^5+103^5+97^5+83^5+73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5+47^5+43^5+23^5+11^5+3^5+2^5
15!=193^5+191^5+181^5+167^5+163^5+151^5+149^5+139^5+137^5+131^5+113^5+107^5+103^5+83^5+79^5+73^5+71^5+59^5+41^5+31^5+23^5+7^5+5^5+3^5
15!=193^5+191^5+179^5+173^5+167^5+163^5+139^5+137^5+131^5+127^5+109^5+89^5+83^5+71^5+67^5+61^5+59^5+47^5+43^5+41^5+37^5+31^5+29^5+23^5+7^5+3^5
15!=193^5+191^5+179^5+173^5+163^5+157^5+151^5+137^5+131^5+127^5+113^5+103^5+79^5+71^5+67^5+61^5+59^5+43^5+41^5+31^5+29^5+23^5+19^5+13^5+11^5+3^5+2^5
15!=191^5+181^5+179^5+173^5+167^5+163^5+151^5+149^5+131^5+127^5+113^5+103^5+101^5+83^5+79^5+71^5+67^5+61^5+53^5+23^5+19^5+7^5+5^5+3^5
Список исчерпывающий.

Меньшие факториалы не представимы (конечно если я нигде не ошибся).

[dimkadimon]

Dmitriy40 это просто великолепно, поздравляю! Как вы это сделали?

Я составляю последовательность для этой задачи и если вы не против добавлю туда ваш результат. Конечно хотелось бы узнать наименьшие факториалы для степеней > 5.

[Dmitriy40]

dimkadimon
Четвёртые степени:

Используется синтаксис Text

12!=131^4+97^4+79^4+73^4+59^4+53^4+47^4+37^4+31^4+29^4+19^4+17^4+11^4+7^4+5^4+3^4
12!=113^4+109^4+103^4+71^4+67^4+53^4+47^4+37^4+31^4+29^4+23^4+17^4+13^4+11^4+5^4+3^4
12!=113^4+107^4+101^4+73^4+67^4+59^4+53^4+47^4+43^4+41^4+29^4+23^4+19^4+11^4+5^4+3^4
12!=113^4+103^4+89^4+83^4+79^4+73^4+59^4+53^4+41^4+37^4+29^4+23^4+19^4+13^4+5^4+3^4
12!=109^4+107^4+103^4+83^4+71^4+53^4+47^4+43^4+41^4+37^4+23^4+19^4+13^4+11^4+5^4+3^4
12!=109^4+107^4+89^4+83^4+79^4+73^4+61^4+59^4+37^4+31^4+23^4+19^4+13^4+11^4+5^4+3^4
12!=109^4+107^4+89^4+83^4+73^4+71^4+67^4+61^4+47^4+41^4+31^4+17^4+13^4+11^4+5^4+3^4
12!=109^4+103^4+101^4+83^4+79^4+67^4+53^4+43^4+41^4+23^4+19^4+17^4+13^4+11^4+5^4+3^4
12!=109^4+103^4+101^4+83^4+79^4+61^4+59^4+47^4+41^4+31^4+19^4+17^4+11^4+7^4+5^4+3^4
12!=109^4+103^4+97^4+83^4+73^4+67^4+61^4+59^4+53^4+47^4+37^4+19^4+11^4+7^4+5^4+3^4
12!=109^4+101^4+97^4+89^4+73^4+71^4+59^4+53^4+47^4+37^4+31^4+29^4+23^4+13^4+5^4+3^4
12!=107^4+103^4+97^4+89^4+79^4+71^4+53^4+47^4+43^4+37^4+31^4+29^4+13^4+11^4+5^4+3^4

Третьи степени:

Используется синтаксис Text

10!=151^3+47^3+37^3+29^3+19^3+5^3
10!=139^3+89^3+43^3+41^3+37^3+29^3+23^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=139^3+79^3+67^3+41^3+37^3+29^3+17^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=139^3+71^3+67^3+47^3+43^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=137^3+89^3+61^3+43^3+29^3+23^3+19^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=137^3+83^3+73^3+37^3+29^3+23^3+19^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=137^3+79^3+73^3+53^3+23^3+19^3+17^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=137^3+79^3+67^3+61^3+29^3+19^3+17^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=137^3+79^3+67^3+59^3+37^3+17^3+13^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=137^3+73^3+71^3+61^3+43^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=131^3+101^3+61^3+43^3+31^3+19^3+17^3+13^3+5^3+3^3+2^3
10!=131^3+79^3+73^3+67^3+47^3+37^3+31^3+23^3+11^3+5^3
10!=131^3+79^3+73^3+61^3+43^3+41^3+37^3+31^3+29^3+23^3+17^3+11^3
10!=131^3+79^3+67^3+61^3+59^3+43^3+31^3+29^3+23^3+19^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=131^3+79^3+67^3+61^3+53^3+43^3+41^3+31^3+29^3+17^3+13^3+11^3
10!=131^3+79^3+67^3+59^3+53^3+43^3+41^3+37^3+29^3+19^3+13^3+5^3
10!=131^3+73^3+71^3+67^3+53^3+41^3+37^3+31^3+29^3+19^3+13^3+11^3
10!=131^3+73^3+67^3+61^3+59^3+47^3+41^3+37^3+31^3+17^3+7^3+5^3
10!=131^3+73^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+41^3+37^3+23^3
10!=127^3+113^3+47^3+31^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=127^3+107^3+61^3+41^3+37^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=127^3+107^3+47^3+43^3+41^3+37^3+31^3+23^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=127^3+103^3+59^3+47^3+43^3+37^3+29^3+23^3+19^3+17^3
10!=127^3+89^3+79^3+59^3+47^3+37^3+23^3+19^3+13^3+11^3
10!=127^3+89^3+71^3+67^3+47^3+43^3+31^3+13^3+11^3+5^3
10!=127^3+89^3+67^3+61^3+53^3+43^3+41^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3
10!=127^3+89^3+67^3+59^3+53^3+43^3+41^3+37^3+23^3+19^3+13^3+5^3
10!=127^3+83^3+79^3+71^3+41^3+37^3+31^3+19^3+11^3+5^3
10!=127^3+83^3+79^3+59^3+53^3+47^3+37^3+19^3
10!=127^3+83^3+73^3+71^3+43^3+41^3+37^3+31^3+29^3+17^3+13^3+11^3
10!=127^3+83^3+73^3+67^3+53^3+41^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3
10!=127^3+83^3+71^3+67^3+59^3+43^3+31^3+29^3+19^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=127^3+79^3+73^3+71^3+59^3+47^3+29^3+19^3
10!=127^3+79^3+73^3+71^3+59^3+43^3+31^3+23^3+19^3+17^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=127^3+79^3+73^3+67^3+59^3+43^3+41^3+29^3+23^3+17^3+13^3+5^3
10!=127^3+79^3+73^3+61^3+59^3+53^3+43^3+29^3+19^3+17^3+11^3+5^3
10!=127^3+79^3+71^3+67^3+53^3+47^3+41^3+37^3+31^3+23^3+19^3+17^3+13^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=127^3+79^3+71^3+61^3+59^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+17^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=127^3+79^3+67^3+61^3+59^3+53^3+47^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=127^3+73^3+71^3+61^3+59^3+53^3+47^3+43^3+31^3+29^3+23^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+109^3+89^3+53^3+31^3+19^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+109^3+89^3+47^3+43^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+109^3+73^3+59^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+19^3+11^3+5^3
10!=113^3+109^3+67^3+61^3+59^3+43^3+31^3+29^3+23^3+19^3+17^3+5^3
10!=113^3+107^3+79^3+59^3+43^3+41^3+37^3+31^3+29^3+19^3+13^3+5^3
10!=113^3+107^3+73^3+61^3+47^3+43^3+41^3+37^3+31^3+23^3
10!=113^3+107^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+41^3+31^3+13^3
10!=113^3+103^3+97^3+53^3+29^3+19^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+103^3+79^3+61^3+59^3+43^3+37^3+29^3+19^3+17^3+11^3+5^3
10!=113^3+103^3+73^3+67^3+53^3+47^3+41^3+37^3+31^3+11^3
10!=113^3+103^3+73^3+61^3+59^3+53^3+43^3+29^3+23^3+19^3
10!=113^3+103^3+71^3+67^3+61^3+43^3+41^3+31^3+29^3+17^3
10!=113^3+103^3+71^3+61^3+59^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+23^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+103^3+67^3+61^3+59^3+53^3+43^3+41^3+31^3+29^3+19^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+101^3+79^3+67^3+59^3+43^3+37^3+23^3+19^3+17^3+13^3+5^3
10!=113^3+101^3+79^3+61^3+59^3+43^3+41^3+37^3+31^3+11^3
10!=113^3+101^3+73^3+71^3+67^3+37^3+31^3+23^3+19^3+17^3+13^3+11^3
10!=113^3+101^3+73^3+67^3+61^3+47^3+43^3+31^3+29^3+11^3
10!=113^3+101^3+71^3+67^3+61^3+53^3+43^3+31^3+19^3+17^3
10!=113^3+97^3+83^3+79^3+43^3+37^3+31^3+29^3+23^3+19^3+17^3+5^3
10!=113^3+97^3+79^3+71^3+61^3+43^3+41^3+31^3+23^3+17^3
10!=113^3+97^3+79^3+67^3+61^3+59^3+29^3+23^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=113^3+97^3+79^3+61^3+59^3+53^3+43^3+41^3+31^3+23^3+19^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+97^3+73^3+71^3+61^3+59^3+37^3+31^3+23^3+11^3
10!=113^3+97^3+73^3+67^3+59^3+53^3+47^3+43^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+97^3+71^3+67^3+61^3+59^3+53^3+31^3+13^3+11^3
10!=113^3+89^3+83^3+79^3+67^3+37^3+31^3+29^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=113^3+89^3+83^3+71^3+67^3+43^3+41^3+37^3+31^3+23^3+19^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+89^3+83^3+71^3+59^3+53^3+47^3+43^3+23^3+11^3+5^3+3^3
10!=113^3+89^3+83^3+67^3+61^3+59^3+43^3+37^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+89^3+83^3+67^3+61^3+53^3+43^3+41^3+37^3+29^3+19^3+13^3
10!=113^3+89^3+79^3+73^3+71^3+47^3+43^3+37^3+19^3+5^3
10!=113^3+89^3+79^3+73^3+67^3+59^3+37^3+31^3+23^3+5^3
10!=113^3+89^3+79^3+73^3+67^3+47^3+43^3+41^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+89^3+79^3+73^3+61^3+53^3+47^3+37^3+31^3+29^3+23^3+13^3
10!=113^3+89^3+79^3+73^3+61^3+53^3+43^3+41^3+37^3+23^3+19^3+17^3
10!=113^3+89^3+79^3+71^3+67^3+61^3+41^3+31^3+13^3+11^3
10!=113^3+89^3+73^3+71^3+67^3+61^3+47^3+43^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+79^3+73^3+71^3+61^3+43^3+31^3+29^3+19^3+17^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+79^3+73^3+71^3+59^3+43^3+37^3+31^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+79^3+73^3+67^3+61^3+53^3+31^3+23^3+19^3+17^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+79^3+73^3+67^3+61^3+47^3+43^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+79^3+73^3+67^3+53^3+47^3+43^3+41^3+31^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+73^3+71^3+67^3+61^3+59^3+43^3+31^3+29^3+7^3+3^3+2^3
10!=113^3+83^3+73^3+71^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+19^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+107^3+89^3+73^3+23^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+107^3+83^3+67^3+47^3+43^3+31^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=109^3+107^3+79^3+73^3+43^3+41^3+31^3+29^3+23^3+19^3+17^3+5^3
10!=109^3+107^3+79^3+61^3+59^3+43^3+41^3+29^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+107^3+73^3+71^3+59^3+43^3+37^3+23^3+19^3+17^3+13^3+5^3
10!=109^3+107^3+73^3+67^3+59^3+53^3+31^3+29^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+107^3+73^3+67^3+59^3+47^3+37^3+31^3+29^3+17^3
10!=109^3+107^3+71^3+67^3+59^3+43^3+41^3+37^3+31^3+19^3+17^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=109^3+103^3+83^3+73^3+53^3+43^3+29^3+23^3+19^3+17^3+13^3+11^3
10!=109^3+103^3+83^3+67^3+59^3+43^3+37^3+29^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+103^3+79^3+61^3+59^3+53^3+47^3+37^3+23^3+5^3
10!=109^3+103^3+73^3+67^3+59^3+53^3+43^3+41^3+31^3+23^3+17^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+101^3+83^3+67^3+61^3+43^3+41^3+31^3+29^3+11^3
10!=109^3+101^3+79^3+71^3+53^3+47^3+43^3+41^3+31^3+23^3+19^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+101^3+79^3+67^3+59^3+53^3+43^3+41^3+19^3+5^3
10!=109^3+101^3+79^3+61^3+59^3+53^3+47^3+43^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+101^3+73^3+71^3+67^3+53^3+41^3+31^3+19^3+11^3
10!=109^3+101^3+73^3+71^3+67^3+47^3+43^3+41^3+13^3+11^3
10!=109^3+101^3+73^3+71^3+61^3+53^3+43^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+89^3+79^3+43^3+41^3+31^3+29^3+23^3+19^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+89^3+71^3+59^3+43^3+37^3+23^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+89^3+67^3+59^3+47^3+37^3+31^3+29^3+11^3
10!=109^3+97^3+89^3+67^3+53^3+43^3+41^3+37^3+31^3+29^3+19^3+17^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+83^3+79^3+61^3+43^3+29^3+23^3+19^3+17^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+83^3+79^3+59^3+43^3+37^3+23^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+83^3+71^3+67^3+47^3+37^3+29^3+19^3+17^3
10!=109^3+97^3+83^3+71^3+61^3+53^3+43^3+31^3+17^3+11^3
10!=109^3+97^3+83^3+71^3+59^3+53^3+43^3+37^3+19^3+5^3
10!=109^3+97^3+83^3+67^3+61^3+59^3+43^3+29^3+23^3+5^3
10!=109^3+97^3+83^3+67^3+59^3+53^3+43^3+41^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+97^3+79^3+73^3+59^3+53^3+47^3+43^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+79^3+71^3+61^3+53^3+47^3+37^3+29^3+19^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=109^3+97^3+79^3+61^3+59^3+53^3+47^3+43^3+41^3+37^3+29^3+23^3+19^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=109^3+97^3+73^3+71^3+67^3+59^3+53^3+23^3+19^3+5^3
10!=109^3+97^3+73^3+71^3+61^3+53^3+47^3+41^3+37^3+31^3+29^3+23^3+19^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+97^3+71^3+67^3+61^3+59^3+53^3+47^3+37^3+29^3+13^3+5^3
10!=109^3+89^3+83^3+79^3+71^3+43^3+41^3+37^3+19^3+5^3
10!=109^3+89^3+83^3+79^3+67^3+53^3+43^3+31^3+17^3+5^3
10!=109^3+89^3+83^3+79^3+61^3+59^3+43^3+37^3+11^3+5^3
10!=109^3+89^3+83^3+79^3+61^3+53^3+41^3+37^3+31^3+29^3+23^3+13^3
10!=109^3+89^3+83^3+73^3+67^3+53^3+43^3+41^3+37^3+23^3+17^3+13^3
10!=109^3+89^3+83^3+71^3+67^3+61^3+43^3+41^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+89^3+79^3+73^3+71^3+67^3+41^3+23^3+19^3+5^3
10!=109^3+89^3+79^3+73^3+67^3+61^3+59^3+23^3+11^3+5^3
10!=109^3+89^3+79^3+73^3+67^3+53^3+47^3+41^3+37^3+31^3+29^3+23^3+19^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=109^3+89^3+79^3+71^3+67^3+61^3+47^3+41^3+37^3+29^3+13^3+5^3
10!=109^3+89^3+79^3+71^3+61^3+59^3+53^3+43^3+37^3+31^3+29^3+19^3+17^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=109^3+89^3+79^3+67^3+61^3+59^3+53^3+47^3+43^3+37^3+23^3+17^3+13^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=109^3+89^3+73^3+71^3+67^3+61^3+53^3+47^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+83^3+79^3+73^3+71^3+61^3+53^3+47^3+31^3+23^3+7^3+3^3+2^3
10!=109^3+83^3+79^3+73^3+67^3+61^3+53^3+47^3+37^3+29^3+23^3+19^3+17^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+103^3+101^3+53^3+43^3+31^3+23^3+19^3+13^3+11^3
10!=107^3+103^3+97^3+53^3+43^3+41^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3
10!=107^3+103^3+89^3+67^3+53^3+43^3+37^3+23^3+19^3+17^3+13^3+5^3
10!=107^3+103^3+89^3+61^3+53^3+43^3+41^3+37^3+31^3+11^3
10!=107^3+103^3+83^3+71^3+67^3+37^3+31^3+5^3
10!=107^3+103^3+79^3+73^3+59^3+43^3+41^3+37^3+29^3+5^3
10!=107^3+103^3+79^3+67^3+61^3+47^3+41^3+37^3+31^3+29^3+23^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+103^3+73^3+71^3+59^3+53^3+43^3+41^3+37^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+103^3+73^3+67^3+61^3+59^3+43^3+41^3+29^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+101^3+83^3+73^3+61^3+43^3+37^3+31^3+29^3+11^3
10!=107^3+101^3+83^3+67^3+59^3+53^3+47^3+29^3+23^3+17^3+11^3+3^3
10!=107^3+101^3+79^3+73^3+67^3+47^3+37^3+29^3+19^3+17^3
10!=107^3+101^3+79^3+73^3+61^3+53^3+43^3+31^3+17^3+11^3
10!=107^3+101^3+79^3+73^3+59^3+53^3+43^3+37^3+19^3+5^3
10!=107^3+101^3+79^3+71^3+61^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+19^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+101^3+79^3+67^3+61^3+53^3+47^3+37^3+31^3+23^3+19^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+101^3+73^3+71^3+67^3+61^3+43^3+23^3+17^3+13^3
10!=107^3+101^3+73^3+67^3+61^3+59^3+53^3+43^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+101^3+73^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+23^3+17^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+89^3+79^3+59^3+43^3+19^3+11^3
10!=107^3+97^3+89^3+79^3+53^3+43^3+31^3+29^3+19^3+13^3+11^3+5^3
10!=107^3+97^3+89^3+79^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+17^3
10!=107^3+97^3+89^3+67^3+59^3+47^3+43^3+37^3+29^3+23^3+19^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+83^3+73^3+61^3+53^3+43^3+31^3+29^3+23^3+19^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+83^3+73^3+59^3+53^3+43^3+37^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+83^3+71^3+67^3+43^3+41^3+37^3+31^3+29^3+19^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+83^3+67^3+61^3+59^3+43^3+37^3+31^3+29^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+83^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+37^3+19^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+79^3+73^3+71^3+53^3+41^3+31^3+13^3+11^3
10!=107^3+97^3+79^3+73^3+67^3+53^3+41^3+37^3+29^3+19^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=107^3+97^3+79^3+73^3+67^3+47^3+43^3+41^3+31^3+29^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+79^3+71^3+67^3+59^3+47^3+31^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+79^3+71^3+67^3+53^3+43^3+41^3+31^3+19^3+17^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+79^3+71^3+61^3+59^3+43^3+41^3+37^3+19^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+79^3+67^3+61^3+59^3+53^3+43^3+31^3+17^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+73^3+71^3+67^3+61^3+47^3+43^3+29^3+19^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+73^3+71^3+67^3+59^3+53^3+37^3+31^3+19^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+73^3+71^3+67^3+59^3+47^3+43^3+37^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+97^3+73^3+67^3+61^3+59^3+53^3+43^3+41^3+37^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+89^3+83^3+79^3+73^3+43^3+41^3+37^3+31^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+89^3+83^3+79^3+67^3+61^3+43^3+29^3+13^3+5^3
10!=107^3+89^3+83^3+73^3+71^3+61^3+43^3+37^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+89^3+79^3+73^3+71^3+67^3+53^3+19^3+13^3+5^3
10!=107^3+89^3+79^3+73^3+71^3+67^3+41^3+37^3+31^3+19^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+89^3+79^3+73^3+67^3+59^3+53^3+47^3+37^3+19^3+7^3+3^3+2^3
10!=107^3+83^3+79^3+73^3+71^3+67^3+61^3+37^3+19^3+17^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=107^3+83^3+79^3+71^3+67^3+61^3+59^3+47^3+43^3+31^3+29^3+19^3+13^3+11^3
10!=103^3+101^3+83^3+79^3+71^3+43^3+13^3+11^3
10!=103^3+101^3+83^3+79^3+53^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+83^3+73^3+67^3+59^3+29^3+19^3+17^3+13^3+7^3+5^3
10!=103^3+101^3+83^3+73^3+67^3+43^3+41^3+37^3+29^3+23^3+19^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+83^3+73^3+61^3+53^3+41^3+37^3+31^3+23^3+17^3+13^3+7^3+5^3
10!=103^3+101^3+83^3+73^3+59^3+47^3+43^3+41^3+37^3+31^3+19^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+83^3+71^3+67^3+53^3+37^3+31^3+29^3+23^3+19^3+13^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+79^3+73^3+67^3+53^3+47^3+31^3+29^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+79^3+73^3+67^3+53^3+43^3+41^3+23^3+19^3+17^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+79^3+71^3+61^3+59^3+53^3+37^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+101^3+79^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+41^3+37^3+29^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+97^3+89^3+83^3+61^3+41^3+31^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3
10!=103^3+97^3+89^3+83^3+59^3+43^3+31^3+29^3+17^3+13^3+7^3+5^3
10!=103^3+97^3+89^3+83^3+59^3+41^3+37^3+23^3+19^3+13^3+7^3+5^3
10!=103^3+97^3+89^3+83^3+53^3+47^3+43^3+19^3+17^3+13^3+7^3+5^3
10!=103^3+97^3+89^3+79^3+67^3+43^3+29^3+23^3+17^3+13^3+11^3+5^3
10!=103^3+97^3+89^3+71^3+67^3+53^3+43^3+29^3+19^3+5^3
10!=103^3+97^3+83^3+79^3+67^3+53^3+43^3+29^3+17^3+5^3
10!=103^3+97^3+83^3+79^3+61^3+59^3+41^3+31^3+23^3+19^3+17^3+13^3+11^3+3^3+2^3
10!=103^3+97^3+83^3+73^3+71^3+53^3+43^3+37^3+23^3+19^3+17^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+97^3+83^3+73^3+61^3+59^3+47^3+43^3+31^3+23^3+17^3+3^3+2^3
10!=103^3+97^3+83^3+71^3+61^3+59^3+47^3+43^3+41^3+19^3+13^3+3^3+2^3
10!=103^3+97^3+73^3+71^3+67^3+61^3+53^3+47^3+37^3+29^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+89^3+83^3+79^3+73^3+67^3+37^3+29^3+11^3+5^3
10!=103^3+89^3+83^3+73^3+71^3+67^3+47^3+41^3+31^3+19^3+13^3+3^3+2^3
10!=103^3+89^3+83^3+73^3+71^3+67^3+43^3+41^3+37^3+23^3+7^3+3^3+2^3
10!=103^3+89^3+83^3+73^3+67^3+61^3+59^3+47^3+31^3+13^3+11^3+3^3+2^3
10!=103^3+89^3+83^3+73^3+67^3+61^3+53^3+43^3+41^3+31^3+19^3+17^3+13^3+11^3+5^3+3^3+2^3
10!=103^3+89^3+79^3+73^3+71^3+61^3+53^3+43^3+41^3+37^3+23^3+13^3+11^3+7^3+5^3+3^3+2^3
10!=101^3+97^3+89^3+79^3+67^3+47^3+37^3+29^3+19^3+11^3
10!=101^3+97^3+89^3+73^3+67^3+47^3+43^3+41^3+29^3+19^3+17^3+13^3+7^3+5^3
10!=101^3+97^3+89^3+71^3+67^3+61^3+43^3+23^3+13^3+11^3
10!=101^3+97^3+89^3+67^3+61^3+53^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+23^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=101^3+97^3+83^3+79^3+73^3+59^3+23^3+19^3+17^3+13^3+7^3+5^3
10!=101^3+97^3+83^3+79^3+67^3+53^3+43^3+41^3+23^3+19^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=101^3+97^3+83^3+73^3+71^3+67^3+37^3+23^3+13^3+11^3
10!=101^3+97^3+83^3+71^3+67^3+61^3+53^3+43^3
10!=101^3+97^3+79^3+73^3+71^3+53^3+47^3+43^3+37^3+31^3+29^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=101^3+97^3+79^3+71^3+61^3+59^3+53^3+43^3+41^3+37^3+31^3+29^3+7^3+3^3+2^3
10!=101^3+89^3+83^3+79^3+73^3+61^3+59^3+19^3+7^3+5^3
10!=101^3+89^3+79^3+73^3+71^3+67^3+61^3+37^3+31^3+29^3+23^3+17^3+13^3+11^3+7^3+3^3+2^3
10!=101^3+83^3+79^3+73^3+71^3+67^3+61^3+53^3+37^3+31^3+29^3+17^3+7^3+3^3+2^3
10!=97^3+89^3+83^3+79^3+73^3+61^3+59^3+41^3+37^3+17^3+7^3+5^3
10!=97^3+89^3+83^3+79^3+71^3+67^3+59^3+37^3+29^3+19^3+7^3+3^3+2^3
10!=97^3+83^3+79^3+73^3+71^3+67^3+59^3+53^3+43^3+41^3+37^3+31^3+23^3+19^3+11^3+5^3

Квадратов без $3^2$ не бывает, без $2^2$ их 2412 вариантов для $8!$ и 25511 вариантов для любых простых.

-- 25.05.2019, 15:27 --

Ну, я откровенно не сильно парился и написал программульку на PARI/GP (за форматирование сорри):

n=5;f=0;
disp(x,v)={my(i); print1(x,"!=",p[v[1]],"^",n); for(i=2,#v,print1("+",p[v[i]],"^",n))}
check(t,x,v,a)={
   my(i,y,vv);
   forstep(i=a,2,-1,
      y=x-pn[i]; vv=concat(v,[i]);
      if(y>s[i-1],break);
      if(y<0,next);
      if(y==0,disp(t,vv);print;f++;break);
      if(y==s[i-1],disp(t,vv);forstep(k=i-1,1,-1,print1("+",p[k],"^",n));print;f++;break);
      check(t,y,vv,i-1);
   );
}
{
p=vector(640,i,prime(i));\\Этого достаточно для 20! и менее
pn=vector(#p,i,p[i]^n);
s=vector(#p,i,vecsum(pn[1..i]));
for(z=5,20,
   v=[];
   check(z,z!,v,vecsearch(p,precprime((z!)^(1/n))));
   if(f>0,print("Num=",f);break);
);
}
\q

-- 25.05.2019, 15:32 --

Для квадратов без двойки и тройки нашёлся такой вариант (простые наибольшие):

9!=523^2+163^2+107^2+89^2+83^2+79^2+73^2+67^2+61^2+59^2+53^2+47^2+43^2+41^2+37^2+31^2+29^2+23^2+19^2+17^2+13^2+11^2+7^2+5^2

Ваш вариант с $397^2+...$ является минимальным (с наименьшими простыми).

-- 25.05.2019, 16:35 --

Восьмая и последующие степени требуют факториала более 20, что больше $2^{64}$ и требует реализации работы с длинными целыми.

[Dmitriy40]

Нашлись решения для седьмой степени (с минимальным наибольшим простым):

20!=331^7+317^7+313^7+311^7+307^7+293^7+281^7+277^7+271^7+263^7+251^7+229^7+227^7+211^7+199^7+193^7+191^7+181^7+179^7+167^7+163^7+157^7+131^7+127^7+113^7+103^7+83^7+71^7+61^7+59^7+53^7+43^7+41^7+23^7+17^7+11^7+5^7+3^7+2^7
20!=331^7+317^7+313^7+311^7+307^7+293^7+277^7+271^7+269^7+257^7+251^7+233^7+229^7+227^7+223^7+199^7+197^7+193^7+191^7+181^7+173^7+149^7+137^7+127^7+113^7+107^7+103^7+89^7+83^7+73^7+61^7+59^7+53^7+43^7+37^7+23^7+19^7+17^7+11^7+5^7
20!=331^7+317^7+313^7+311^7+293^7+283^7+281^7+277^7+269^7+263^7+257^7+241^7+239^7+233^7+229^7+227^7+197^7+193^7+191^7+181^7+179^7+167^7+149^7+137^7+113^7+109^7+103^7+97^7+83^7+71^7+67^7+59^7+43^7+31^7+13^7+5^7
20!=331^7+317^7+313^7+311^7+293^7+283^7+281^7+271^7+269^7+263^7+257^7+251^7+241^7+239^7+233^7+223^7+193^7+191^7+181^7+173^7+167^7+163^7+157^7+139^7+131^7+113^7+109^7+101^7+89^7+61^7+47^7+43^7+41^7+23^7+19^7+17^7+13^7+5^7
20!=331^7+317^7+313^7+311^7+293^7+283^7+281^7+271^7+269^7+263^7+257^7+241^7+239^7+233^7+229^7+227^7+223^7+197^7+193^7+179^7+173^7+167^7+151^7+139^7+137^7+127^7+109^7+101^7+83^7+73^7+59^7+37^7+17^7+13^7+11^7+5^7

Шестая степень будет не менее чем 18!, восьмая не менее чем 22! (что больше $2^{64}$), девятая не менее 24!, десятая не менее 26!, одиннадцатая не менее 27!, двенадцатая не менее 29!, тринадцатая не менее 31!, четырнадцатая не менее 33!, пятнадцатая не менее 35! (что уже больше $2^{128}$).