Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
shwedka писал(а):
Вы вывели формулу при некоторых условиях. Вы не привели оснований ожидать, что их можно отбросить…. Спешки нет, доказывайте.
что
Цитата:
, причем функция
- одна и та же для всех компонент.
Доказательство о возможности такого представления вектора скорости (и любого другого вектора) можно получить из общеизвестных уравнений векторных линий (линий тока- в гидродинамике)
![\[
\frac{{\delta x}}{{\dot u_x }} = \frac{{\delta y}}{{\dot u_y }} = \frac{{\delta z}}{{\dot u_z }} = \delta \varsigma
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/3/6332b804f242a51407a786d754c6d72b82.png "\[
\frac{{\delta x}}{{\dot u_x }} = \frac{{\delta y}}{{\dot u_y }} = \frac{{\delta z}}{{\dot u_z }} = \delta \varsigma
\]")
(1)
Поскольку для каждого фиксированного момента времени
![\[
\dot u_i = \dot u_i (x,y,z)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/7/6e7d5d94fad572812b1b5694822cb20b82.png "\[
\dot u_i = \dot u_i (x,y,z)
\]")
, то эти уравнения можно записать в таком виде:
![\[
\begin{array}{l}
\frac{{\delta \varsigma }}{{\delta x}} = \frac{1}{{\dot u_x }} \Rightarrow \varsigma = \int {\frac{1}{{\dot u_x }}} \delta x + f_x (y,z) \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z) \\
\frac{{\delta \varsigma }}{{\delta y}} = \frac{1}{{\dot u_y }} \Rightarrow \varsigma = \int {\frac{1}{{\dot u_y }}} \delta y + f_y (x,z) \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z) \\
\frac{{\delta \varsigma }}{{\delta z}} = \frac{1}{{\dot u_z }} \Rightarrow \varsigma = \int {\frac{1}{{\dot u_z }}} \delta z + f_z (x,y) \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z) \\
\end{array}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/5/c55f5f906d366838c4431341b0a3d23a82.png "\[
\begin{array}{l}
\frac{{\delta \varsigma }}{{\delta x}} = \frac{1}{{\dot u_x }} \Rightarrow \varsigma = \int {\frac{1}{{\dot u_x }}} \delta x + f_x (y,z) \Rightarrow \varsigma = F_x (x,y,z) \\
\frac{{\delta \varsigma }}{{\delta y}} = \frac{1}{{\dot u_y }} \Rightarrow \varsigma = \int {\frac{1}{{\dot u_y }}} \delta y + f_y (x,z) \Rightarrow \varsigma = F_y (x,y,z) \\
\frac{{\delta \varsigma }}{{\delta z}} = \frac{1}{{\dot u_z }} \Rightarrow \varsigma = \int {\frac{1}{{\dot u_z }}} \delta z + f_z (x,y) \Rightarrow \varsigma = F_z (x,y,z) \\
\end{array}
\]")
(2)
И сразу же, как видим, из каждого уравнения получили требуемое условие
![\[
\varsigma = \varsigma (x,y,z)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/3/af3a448863cf0cf170e1d4e58dc5bcc482.png "\[
\varsigma = \varsigma (x,y,z)
\]")
. Три выражения для
можно рассматривать, как алгебраическую систему уравнений и разрешить ее относительно
![\[
x,y,z
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/2/9e298e74d101f36071c147dd84607a2682.png "\[
x,y,z
\]")
. В результате получим выражения
![\[
x = x(\varsigma ),y = y(\varsigma ),z = z(\varsigma )
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/4/114f987db352bd57e34f4f48ba084f8582.png "\[
x = x(\varsigma ),y = y(\varsigma ),z = z(\varsigma )
\]")
. После подстановки этих выражений вместо основных аргументов компонент вектора
получим требуемое условие
![\[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma )
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29fdda893b12e617de801068b3ea6f8282.png "\[
\dot u_i = \dot u_i (\varsigma )
\]")
.
Цитата:
Я, честно говоря, в свойство исчезания дивергенции ускорения не верю. Потому и слежу за происходящим с особой тщательностью.
Частный случай, когда конвективная составляющая ускорения отсутствует, и дивергенция ускорения при этом равна нулю, должен все-таки натолкнуть на мысль: а почему при наличии конвективной составляющей может быть иначе?
Алексей К. писал(а):
…Если надо точечку над чем-то более сложным, то, исходя из общих
-принципов пишем \dot{,,,}, где многоточие и есть это что-то-более-сложное. У Вас получилась точечка над другим акцентом (\dot \vec), чего ТЕХ вряд ли ожидал и, слегка балдея, как-то всё же обрабатывет.
Спасибо за подсказку! Попытаюсь разобраться.
С уважением, Александр Козачок
![\[
x_i = x,y,z
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/f/a7f88e75731891380d464e91b63fb0dc82.png "\[
x_i = x,y,z
\]")
, а также ![\[
x_j \ne x_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509d17d4b1f28e3198dfd3bab78e996582.png "\[
x_j \ne x_i
\]")
из последних формул наряду с другими получаем и такие выражения:
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17fe02fee129bf3eaee485763a23741b82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]")
(5)
![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/0056180d7fc636ae414a62f28b35674382.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]")
![\[div\ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/4/b24c7e781ac67cb58988d432d2f726c282.png "\[div\ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]")
, откуда вытекает, что в случае, когда ![\[
div\dot \vec u = 0 \Rightarrow div\ddot \vec u = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e410a03dddc93cf561f1b864ac169482.png "\[
div\dot \vec u = 0 \Rightarrow div\ddot \vec u = 0
\]")
.
, а не 
?
только одна, точнее будет писать здесь не частную производную по 
: 
. Если надо точечку над чем-то более сложным, то, исходя из общих 
, то эти уравнения можно записать в таком виде:
(2)
. Три выражения для 
можно рассматривать, как алгебраическую систему уравнений и разрешить ее относительно 
. В результате получим выражения 
(3) . После подстановки этих выражений вместо основных аргументов компонент вектора 
получим требуемое условие 
. 
, a получается только на кривой (3). Этого недостаточно. Вы вернулись к версии, от которой уже один раз отказались, поскольку она дает очевидные ошибки.
под знаком интеграла. И что означают эти ![\[
\frac{{dx}}{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}{{\dot u_z }} = dt
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/6/fb6f70a2f430e0e0dd6d1ccc0646315e82.png "\[
\frac{{dx}}{{\dot u_x }} = \frac{{dy}}{{\dot u_y }} = \frac{{dz}}{{\dot u_z }} = dt
\]")
(2)
![\[
\delta
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/8/c18e1920aeaf5aa0ce4c94abf72574d582.png "\[
\delta
\]")
.
у Вас?? Независимые переменные или что-то другое.
, то это некоторый скалярный параметр (так называет его Л.И. Седов), т.е. по моему предположению та функция, общий вид которой, с Вашей подачи, надо определить.
??
- координаты подвижной точки, имеющей вектор скорости 
, to 
.
, 
Вы можете выполнять те же операции интегрирования, что и с ![\[
dx,dy,dz
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/e/f8e08095ed95d44a4ceb204e5faff08282.png "\[
dx,dy,dz
\]")
, но не забывать, что это все-таки частные дифференциалы и при записи постоянной интегрирования имеются некоторые особенности.