Умножение перестановок

[Aster1sk]

Добрый день!
Параллельно ковыряю несколько учебников по высшей алгебре, в частности Курош и Кострикин. Разбираю перестановки и решаю задачи по теме. И я обнаружил, что у Кострикина и у Куроша умножение отличается! Если умножаются 2 перестановки, например

$$\begin{pmatrix} 1 2 3 4 \\ 2 3 4 1 \end{pmatrix}$$

и

$$\begin{pmatrix} 1 2 3 4 \\ 4 3 2 1 \end{pmatrix}$$

, то у Куроша первый столбец выглядит как $1\to2\to3$, а у Кострикина $1\to4\to1$
то есть с моей точки зрения (которая сформировалась после прочтения Куроша) Кострикин перемножает их в обратном порядке. Помогите разобраться, я не понимаю, как правильно.

[Someone]

Aster1sk в сообщении #1394583 писал(а):

Помогите разобраться, я не понимаю, как правильно.

Как определите, так и правильно. Курош определил так, Кострикин эдак… Только позаботьтесь, чтобы ваши читатели знали, как именно Вы определили.

-- Ср май 22, 2019 17:14:04 --

Да, и не забывайте, что при разных определениях умножения формулы будут выглядеть, вообще говоря, по-разному.

[Munin]

Всё очень просто. Да, есть два способа перемножать перестановки. А именно, если у вас записано

$$\underset{\mathrm{L}}{\left(\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{smallmatrix}\right)}\cdot\underset{\mathrm{R}}{\left(\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}\right)},$$

то её можно воспринимать:
- слева направо: сначала вычисляется перестановка $\mathrm{L},$ а потом к её результату применяется перестановка $\mathrm{R}$;
- справа налево: сначала вычисляется перестановка $\mathrm{R},$ а потом к её результату применяется перестановка $\mathrm{L}.$
Оба варианта "законны": первый естественный для "наивного" читателя, и если перестановки воспринимать просто "как объект в себе",
а второй - естественный, если воспринимать перестановки как (биективные) функции, а умножение - как композицию: $(\mathrm{L}\cdot\mathrm{R})(x)=(\mathrm{L}\circ\mathrm{R})(x)=\mathrm{L}(\mathrm{R}(x)).$

Так что вся проблема сводится к тому, что где-то в начале раздела про перестановки в книге просто указывается, в каком именно смысле здесь понимается порядок умножения. Надо это место внимательно прочитать, и запомнить. Выкладки одного типа переводятся в выкладки другого типа автоматически: просто записываются задом наперёд. Соответственно, и сопоставить две книги не проблема.

[Connector]

Все дело в удобстве обозначений: это чисто языковой вопрос. Здесь также важно, какую символику автор выбирает для значения функции в точке $x$: $fx$ или $xf$; в зависимости от этого оба варианта могут оказаться «естественными», как пишет Munin, даже если воспринимать перестановки как биективные функции.

[Aster1sk]

Действительно, у Кострикина есть прямое указание на связь темы перестановок с темой множеств и отображений, и в этом смысле его вариант, конечно, более логичный. у Куроша же умножение даётся между прочим, а сама тема перестановок привязана к определителям (что в момент прочтения казалось весьма уместным). Возможно, где-то дальше в соответствующей теме есть пояснение, что, когда дело касается множеств, правила умножения будут немного противоположными. До этого я ещё не дошёл.
В любом случае, всем спасибо.

[Munin]

Aster1sk в сообщении #1394691 писал(а):

У Куроша же умножение даётся между прочим, а сама тема перестановок привязана к определителям (что в момент прочтения казалось весьма уместным).

Довольно часто это так и делается, то есть перестановки - мелкий вспомогательный аппарат, чтобы определять знакочередование при антисимметризации. Не только определители: это встречается в антисимметричных тензорах (частным случаем которых и является определитель), в диаграммах Юнга и основанных на них понятиях... Но всегда как мелкая служебная деталь. В линейной алгебре.

А группа перестановок сама по себе - это сильно другая ветвь алгебры, это теория групп (её конечная часть).

Aster1sk в сообщении #1394691 писал(а):

Возможно, где-то дальше в соответствующей теме есть пояснение, что, когда дело касается множеств, правила умножения будут немного противоположными.

Вряд ли. Скорее, в пределах одной книги правила будут везде одинаковыми, чтобы не путать читателя. Ну а в разных книгах может быть по-разному. Но всегда явно оговорено (если автор хороший, а названные вами - хорошие).

[Padawan]

Aster1sk в сообщении #1394691 писал(а):

Действительно, у Кострикина есть прямое указание на связь темы перестановок с темой множеств и отображений, и в этом смысле его вариант, конечно, более логичный.

Если мне не изменяет память, умножение линейных операторов у Куроша тоже идет слева направо, т.е. $xAB=((x)A)B$ (еще так в учебнике Мальцева по линейной алгебре). Поэтому у Куроша тоже все логично

[bot]

Padawan в сообщении #1394741 писал(а):

Поэтому у Куроша тоже все логично

Всё сводится к тому, с какой стороны писать символ оператора - слева от аргумента (со скобками или без) или справа от него, тут уж без выбора - скобок не будет. Так что у Куроша и Мальцева кроме логичности ещё и экономия.

[Munin]

Я аж заинтересовался. Да, действительно, Курош использует именно такой порядок. Тогда стоит рекомендовать Aster1sk не читать учебник Куроша, поскольку иначе можно подхватить привычку, которая помешает дальше читать все остальные книги и общаться с окружающими. Сегодня общепринято работать с вектор-столбцами, и соответственно операторы на них умножаются слева (умножение на оператор тождественно умножению на матрицу).

-- 23.05.2019 14:48:04 --

(Разумеется, легко можно получить и обратный порядок, просто транспонировав все формулы, но это требует всё-таки отдельных умственных усилий, а поначалу надо запоминать все формулы в одном стандартном порядке.)

[Padawan]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1394770 писал(а):

Тогда стоит рекомендовать Aster1sk не читать учебник Куроша

Ну Вы даете! Вот Мальцев тоже такие обозначения использует, но, на мой взгляд, это один из лучших учебников по линейной алгебре (сам по нему учился на первом курсе). И небольшое расхождение в обозначениях - это мелочь на фоне остальных достоинств (не помню каких, помню, что очень понравился учебник). Про Куроша в части линейной алгебре ничего плохого не скажу, но и хорошего тоже нет. Учебник как учебник.

[Munin]

Есть Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, а есть Мальцев И.А. Линейная алгебра.

[Padawan]

Munin в сообщении #1394821 писал(а):

Мальцев А.И. Основы линейной алгебры