Пять точек на сфере

[Sicker]

Обсуждалась ли на этом форуме следующая задачка. Расположить пять точек на сфере так, чтобы сумма попарных расстояний была максимальной. Для двух точек очевидно, что это будут полюсы, для трех равносторонний треугольник, для четырех тетраэдр (хотя квадрат тоже будет локальным максимумом), а вот что будет для пяти точек? Ведь такого платонового тела нет :)

[GraNiNi]

Естественно - одинаковых расстояний не будет
Чисто умозрительно - два полюса и равносторонний треугольник на экваторе.

[fred1996]

Чисто интуитино кажется, что начиная с 4-х точек и более будет несколько локальных максимумов, которые можно сравнивать только перебором.
Кстати, квадрат не будет локальным максимумом. Если его начать скручивать, то он постепенно превратится в тетраэдр. При этом сумма расстояний будет расти сразу.

[fred1996]

Кстати, задачка эквивалентна физической задачке для взаимодействия с потенциалом
$-fd_{ij}$
Где $d_{ij}$ - расстояние между парами точек, а $f$ - постоянная сила отталкивания между любой парой точек, которая не зависит от расстояния. То есть надо найти такое расположение точек на сфере, чтобы результирующая всех сил для любой точки была нормальна поверхности. То есть проходила через центр сферы. Таким образом задача эквивалентна такой же задаче из электростатики. С одинаково заряженными точками на сфере. Но, поскольку потенциал другой, то и решения будут отличаться. Остается только перпендикулярность результирующих сил поверхности сферы.

[arseniiv]

fred1996 в сообщении #1394202 писал(а):

Чисто интуитино кажется, что начиная с 4-х точек и более будет несколько локальных максимумов, которые можно сравнивать только перебором.

Кстати, перечислять все локальные максимумы тоже интересно, на мой взгляд.

[Booker48]

В книге Ласло Фейеша Тота "Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве" рассматриваются несколько таких и подобных задач.

[ET]

Sicker в сообщении #1394193 писал(а):

Обсуждалась ли на этом форуме следующая задачка. Расположить пять точек на сфере так, чтобы сумма попарных расстояний была максимальной. Для двух точек очевидно, что это будут полюсы, для трех равносторонний треугольник, для четырех тетраэдр (хотя квадрат тоже будет локальным максимумом), а вот что будет для пяти точек? Ведь такого платонового тела нет :)

А метрика какая? По прямой или по геодезической? Хотя в любом случае скорее всего будет бипирамида. Обсуждение похожей, но чуть другой задачи когда-то очень давно помню на другом форуме

[StaticZero]

ET в сообщении #1394468 писал(а):

бипирамида

Говорят, координационному числу 5 соответствует расположение лигандов, как в тригональной бипирамиде. Я природе доверяю

[ET]

StaticZero
И вы тоже не определились с метрикой и подразумеваете "по прямой"
Однако, можно предположить, что ТС имеет ввиду "по геодезической"
Во всяком случае для 4х точек квадрат действительно ,похоже, является локальным максимумом для метрики "по геодезической"
Для метрики "по прямой" fred1996 написал все верно.
Но неупоминание метрики со стороны ТС наводит на подозрение, что ТС сам часть рассуждений сделал для одной метрики, часть для другой
Но для 5ти точек все мало интересно. А вот для семи там что-то страшное получается, кажется.

[GraNiNi]

Ничего страшного там не будет - такая же бипирамида как и для 5-и точек, только не три, а пять точек (пятиугольник) на экваторе.

[Dmitriy40]

Расстояния (по сфере) между точками в пятиугольнике будут $2\pi/5$, между точками на экваторе и точками на полюсах $2\pi/4$ - а значит можно 2 точки на экваторе сдвинуть вверх (по широте), а две вниз, чтобы расстояния между всеми 5-ю точками с экватора возросли, но не превысили уменьшившиеся расстояния до точек на полюсах. Вероятно 4 точки с экватора можно будет и по долготе чуть подвинуть для выравнивания всех расстояний между всеми 5-ю точками с экватора ... В любом случае минимальные расстояния между точками увеличатся (с $2\pi/5$ до некоторого меньшего чем $2\pi/4$, лень считать). И будет уже не бипирамида. Правда похоже это другая задача (максимизация минимального расстояния между любыми двумя точками).

[GraNiNi]

Sicker в сообщении #1394193 писал(а):

Обсуждалась ли на этом форуме следующая задачка.

Оказывается, обсуждалась.
topic20466.html

[Sicker]

fred1996 в сообщении #1394202 писал(а):

Кстати, квадрат не будет локальным максимумом. Если его начать скручивать, то он постепенно превратится в тетраэдр. При этом сумма расстояний будет расти сразу.

Там же нулевые производные по перемещениям его вершин Или это точка перегиба?
ET
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

[alcoholist]

Sicker в сообщении #1395040 писал(а):

Или это точка перегиба?

седловая

[fred1996]

Sicker в сообщении #1395040 писал(а):

fred1996 в сообщении #1394202 писал(а):

Кстати, квадрат не будет локальным максимумом. Если его начать скручивать, то он постепенно превратится в тетраэдр. При этом сумма расстояний будет расти сразу.

Там же нулевые производные по перемещениям его вершин Или это точка перегиба?
ET
Метрика по прямой в объемлющем пространстве

Квадрат на сфере - это конструкция неустойчивого равновесия. Естественно у нее первые производные нулевые. Пусть у нас есть единичная сфера с центром в начале координат. Расположите квадрат в плоскости $xy$ с вершинами в точках $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$. А потом сместите первую и третью точки на $dz$, а вторую и четвертую на $-dz$. Тогда диаганали фигуры останутся то же длины, а периметр увеличится на $4\sqrt{2}(dz)^2$. Или что-то в этом роде.
То же самое будет, если в эти точки поместить одинаково заряженные электрические заряды. Потенциал отталктвания будет другой, но результат тот же.