Предел функции в точке

[SiberianSemion]

project15, то, что вы написали, визуально очень напоминает так называемый "предел фильтра". Гляньте Бурбаки "Общая топология. Основные структуры". Глава I. Пункт 7.1. Может, это и есть то, что вам нужно?

[project15]

Someone

Someone в сообщении #1392259 писал(а):

project15 в сообщении #1392245 писал(а):

Элемент $A\in\overline{\mathbb{R}}$

Что такое $\overline{\mathbb R}$? Если это множество действительных с добавленными "бесконечными" элементами, то отдаёте ли Вы себе отчёт, что в математическом анализе используются два различных способа добавления "бесконечных" элементов, и что оба надо определить?

Вы отметили, что

Someone в сообщении #1392233 писал(а):

Однако удобно ввести обобщающие понятия окрестности и проколотой окрестности...

и я исходил из того, что эти понятия уже есть и можно ими пользоваться.

Someone в сообщении #1392259 писал(а):

project15 в сообщении #1392245 писал(а):

Посчитал, что слово "целочисленного аргумента" - своеобразный исторический устоявшийся оборот (в учебниках Куранта и Фихтенгольца, если мне не изменяет память, именно так).

Насчёт "исторически устоявшегося оборота" Вы заблуждаетесь, потому что математики отличают натуральные числа от целых. Нету такого "исторически устоявшегося оборота". У Фихтенгольца точно говорится о натуральных числах (глава первая, § 1, пункт 22). Куранта я не читал, но очень сильно сомневаюсь, что он путает целые числа с натуральными.

Курант

Бермант

На счет Фихтенгольца, видимо, был не прав.
Я для себя уяснил, что если есть возможность сказать точно и не прибегать к формулировке, допускающей двусмысленное трактование, то лучше так и сделать. Вы мне ясно дали понять, что такая терминология не является общепринятой. Но тем не менее, такой оборот в старых книжках иногда встречается.

Someone в сообщении #1392259 писал(а):

Проблема в том, что натуральные числа должны быть определены до целых, целые — до рациональных, а рациональные — до действительных, поэтому, если Вы будете считать, что $\mathbb N\subset\mathbb R$, у Вас получится порочный круг. Другое дело, что числовые системы $\mathbb N$, $\mathbb Z$ и $\mathbb Q$ допускают изоморфизмы на подмножества $\mathbb R$.

Я писал выше, что вещественные числа у нас уже есть. Расшифрую, что я под этим подразумевал. Мы определили $\mathbb{N}$ аксиомами Пеано. Построили из $\mathbb{N}$ системы $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$. Построение числовых систем - это точно не задача матанализа (возможно, одна из задач алгебры и теории чисел). Оно должно осуществляться до всего того, что изучается в матанализе. Далее мы определили вещественные числа аксиоматически. Рассмотрели несколько моделей этой системы аксиом. Доказали категоричность этой системы аксиом. Выделили в $\mathbb{R}$ подмножество (которое само является алгебраической структурой), изоморфное тем объектам, которые определяются аксиомами Пеано и назвали элементы этого подмножества натуральными числами (для единообразия, как обычно. зачем создавать новый термин, если можно обойтись старым). Сделали то же самое с $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$. И только после всего этого выдохнули и сказали, что "теперь вещественные числа у нас есть". Вещественные числа будет не лишним немного поисследовать: доказать эквивалентность 5-6 формулировок непрерывности, доказать существование и единственность арифметического корня $n$-ой степени произвольного положительного числа, вывести свойства неравенств (включая те свойства, которые относятся к арифметическим корням и степеням с натуральными показателями) и т.д. При таком подходе никакого порочного круга и никаких проблем с областью определения последовательности я не наблюдаю.

Someone в сообщении #1392259 писал(а):

Если Вы с целью единообразия рассматриваете натуральный ряд как подмножество множества действительных чисел, то условие "функция определена в проколотой окрестности предельной точки" будет нарушено, и у Вас будет два варианта выхода: либо дать для последовательности отдельное определение предела, что убивает вашу идею на корню, либо "для единообразия" определять предел функции, заданной на произвольном подмножестве множества действительных чисел.

Про то, что натуральный ряд - подмножество множества действительных чисел, написал выше. А вот далее непонятно. Почему условие "функция определена в проколотой окрестности предельной точки" будет нарушено? Бесконечно удаленные предельные точки и точки прикосновения, а так же общее понятие проколотой окрестности мы определили, с натуральными числами и областью определения последовательности тоже никаких проблем нету. Не понимаю этот момент.

Someone в сообщении #1392259 писал(а):

и у Вас будет два варианта выхода: либо дать для последовательности отдельное определение предела, что убивает вашу идею на корню, либо "для единообразия" определять предел функции, заданной на произвольном подмножестве множества действительных чисел. Но этот вариант (не думайте, что его никто не пробовал) требует усложнения самого определения, а также формулировок и доказательств теорем, в первую очередь — свойств пределов. А это крайне нежелательно, поскольку речь идёт об обучении начинающих, а им и так трудно разобраться с этим понятием.

Да, последовательность отдельно я определять не хочу (из соображений единообразия, как вы точно отметили). Меня больше заинтересовала ваша фраза "либо "для единообразия" определять предел функции, заданной на произвольном подмножестве множества действительных чисел."
А разве во всех курсах матанализа не делают ровно это? Разве предел функции в точке определяется только для каких-то частных видов функций, а не для любых функций вида $f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$? Я всегда считал, что предел функции в точке применим к абсолютно любым функциям вида $f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ и никаких ограничений на функции тут нету (понятно, что точка, в которой рассматривается предел, должна быть предельной для $X$).

Someone в сообщении #1392259 писал(а):

И, наконец, должен отметить, что идея учить специалистов, как им излагать математический анализ, при вашем понимании вопроса выглядит крайне самонадеянной. Я Вам категорически не советую этим заниматься, поскольку ничего хорошего из этого не выйдет.

Я очень ценю Ваши содержательные комментарии и то, что Вы тратите свое время, помогая мне, но, пожалуйста, не приписывайте мне те действия и намерения, которые не имеют места быть. Я прямо написал в вышестоящем посте

project15 в сообщении #1392217 писал(а):

Все вышеперечисленное я делаю исключительно для себя исходя из своего чувства эстетики и видения этого предмета. Никого не призываю относиться к матанализу так же.

Я ни в коем разе не пытаюсь никого учить. Странно, что у Вас возникло подобное представление в свете того, что свои намерения я предельно ясно изложил в этой цитате.

[ewert]

project15 в сообщении #1392348 писал(а):

Построение числовых систем - это точно не задача матанализа (возможно, одна из задач алгебры и теории чисел). Оно должно осуществляться до всего того, что изучается в матанализе. Далее мы определили вещественные числа аксиоматически.

Аксиоматическое определение, согласно Бертрану Расселу -- это некоторая разновидность жульничества. До тех пор, пока оно не стимулировано какими-то потребностями. Потребности же эти, коль скоро речь об именно вещественных числах, относятся сугубо к матанализу, но никак не к алгебре и не к теории чисел.

project15 в сообщении #1392348 писал(а):

Вещественные числа будет не лишним немного поисследовать: доказать эквивалентность 5-6 формулировок непрерывности,

Что значит "не лишним". Это -- стандартная цепочка теорем матанализа (другое дело, что не все авторы учебников считают нужным закольцовывать её в эквивалентность). Но, между прочим, в бОльшей части этих утверждений речь идёт о пределах последовательностей. Так что понятие предела именно последовательности, а не функции, должно идти перед определением вещественных чисел. В противном случае изложение теряет какую бы то ни было мотивированность. Ну и уж заодно:

project15 в сообщении #1392348 писал(а):

доказать существование и единственность арифметического корня $n$-ой степени произвольного положительного числа

-- совершенно излишне (разве что предложить сделать это в качестве упражнения). Возведение в степень не есть самостоятельная операция. Существование же корня есть банальное следствие общей теоремы об обратной функции, и это принципиально.

[project15]

Padawan

Padawan в сообщении #1392283 писал(а):

Множество всех частичных пределов функции $f$ по базе $\mathscr B$ равно

$$C(f)=\bigcap_{B\in\mathscr B} \overline{f(B)}$$

Существует $\lim_\mathscr B f= A$ тогда и только тогда, когда $C(f)=\{A\}$.

Что означает $\overline{f(B)}$?

SiberianSemion

SiberianSemion в сообщении #1392337 писал(а):

project15, то, что вы написали, визуально очень напоминает так называемый "предел фильтра". Гляньте Бурбаки "Общая топология. Основные структуры". Глава I. Пункт 7.1. Может, это и есть то, что вам нужно?

Я стараюсь избегать обобщений на этом этапе. Вся идея в том и заключается, чтобы честно построить одномерный анализ, не прибегая к топологическим терминам и теоремам.

[Padawan]

Замыкание (геометрия) - рувики

[Someone]

project15 в сообщении #1392348 писал(а):

Курант

Я в таких случаях не ленюсь перенабрать нужный отрывок со всеми формулами.

По сути дела, здесь Курант сразу говорит, что речь идёт о функциях, определённых на множестве натуральных чисел, и фактически даёт четыре названия: "функция целочисленной переменной", "функция натуральной переменной", "числовая функция" и "функция индекса". Точным является только второе из них (и то с оговоркой насчёт области значений, которая в данном случае подразумевается), остальные — неточные, и их неточность явно повлияла на Вас в нехорошую сторону, ибо Вы начали употреблять термин, который стандартно употребляется в смысле "функция, определённая на множестве целых чисел". И ещё надо учесть, что под числовой функцией сплошь и рядом понимают функцию, определённую на каком угодно множестве и принимающую значения в каком-нибудь поле или кольце, элементы которого называются "какими-нибудь числами", не обязательно действительными; годятся и $p$-адические, например. А какое множество может пробегать "индекс", страшно и подумать.

[project15]

ewert

ewert в сообщении #1392357 писал(а):

Что значит "не лишним". Это -- стандартная цепочка теорем матанализа (другое дело, что не все авторы учебников считают нужным закольцовывать её в эквивалентность). Но, между прочим, в бОльшей части этих утверждений речь идёт о пределах последовательностей.

1. Аксиома Дедекинда: Один из классов любого сечения континуума закрыт.
2. Принцип разделяющей точки: Существует точка $\xi \in \mathbb{R}$ такая, что $a\leqslant\xi\leqslant b$
3. Всякое непустое ограниченное сверху множество $E \subset \mathbb{R}$ имеет точную верхнюю грань.
4. Принцип Вейерштрасса: Каждое бесконечное ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку.
5. Аксиома Кантора: Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длинна отрезков стремится к нулю, то такая точка единственная. (понятие стремления длины отрезков к нулю определяется без введения понятия последовательности).
6. Аксиома Архимеда + аксиома полноты (Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле).
7. Каждая монотонно возрастающая ограниченная последовательность имеет предел.

Как видно, 6 из 7 вариантов постулирования непрерывности не использует понятие последовательности. Конечно, можно, например, систему вложенных отрезков рассматривать, как 2 последовательности, которые стремятся друг к другу, но зачем? Вложенные отрезки сами по себе - чрезвычайно красивый и простой объект.

ewert в сообщении #1392357 писал(а):

Так что понятие предела именно последовательности, а не функции, должно идти перед определением вещественных чисел. В противном случае изложение теряет какую бы то ни было мотивированность.

Категорически с Вами не согласен. На мой взгляд, вещественные числа надо определять раньше всех остальных объектов. Потом определить понятие функции. (последовательность, как некий обособленный объект, я бы вообще не определял; только как функцию натурального аргумента).

ewert в сообщении #1392357 писал(а):

Аксиоматическое определение, согласно Бертрану Расселу -- это некоторая разновидность жульничества. До тех пор, пока оно не стимулировано какими-то потребностями.

Почему же не стимулировано? Ну вот смотрим мы на упорядоченное поле $\mathbb{Q}$ (которое только что построили из $\mathbb{N}$) и видим, что корни не извлекаются, отрезки длинами не снабжаются и т.д. Чем не повод добавить требование непрерывности, которое так естественно напрашивается? Да даже если бы и никак не было бы стимулировано. Как вы хотите строить анализ, не имея в своем распоряжении вещественные числа? Рассматривать фундаментальные последовательности с рациональными членами, определять вещественные числа как классы эквивалентности таких последовательностей? В таком подходе стимулов не больше, чем в аксиоматическом, а вот сложностей точно больше. Я очень сильно сомневаюсь, что у условного первокурсника эти фундаментальные последовательности будут теми объектами, которые отражают его интуитивное понимание числа. А вот мыслить о действительных числах, как об объектах некоторого непрерывного упорядоченного поля, очень даже приятно. Тем более зная, что эта система аксиом категорична.

ewert в сообщении #1392357 писал(а):

Потребности же эти, коль скоро речь об именно вещественных числах, относятся сугубо к матанализу, но никак не к алгебре и не к теории чисел.

Потребности могут быть мотивированы чем угодно, но на построение теории это отражаться не должно.

[Someone]

project15 в сообщении #1392530 писал(а):

Как видно, 6 из 7 вариантов постулирования непрерывности не использует понятие последовательности.

project15 в сообщении #1392530 писал(а):

6. Аксиома Архимеда + аксиома полноты (Множество вещественных чисел есть максимальное архимедово упорядоченное поле).
7. Каждая монотонно возрастающая ограниченная последовательность имеет предел.

Это тем более смешно, что в последнем пункте явно употребляется термин "последовательность". А формулировка в шестом пункте мне не нравится тем, что по отношению к архимедово упорядоченному полю это выглядит не аксиомой, а метатеоретическим утверждением. По этой же причине мне не нравится соответствующее условие в гильбертовской аксиоматике геометрии.

project15 в сообщении #1392530 писал(а):

2. Принцип разделяющей точки: Существует точка $\xi \in \mathbb{R}$ такая, что $a\leqslant\xi\leqslant b$

Сформулировано что-то совершенно непонятное. Если уж берётесь формулировать, то формулируйте как положено.

project15 в сообщении #1392530 писал(а):

Почему же не стимулировано?

Потому что потребности математического анализа стимулируют не аксиоматизацию, а демонстрацию конкретного множества, которое можно было бы считать множеством действительных чисел. Стандартный путь состоит в пополнении множества рациональных чисел тем или иным способом и доказательстве того, что получилось требуемое. Формулировка набора аксиом не освобождает от доказательства существования.

project15 в сообщении #1392348 писал(а):

Я ни в коем разе не пытаюсь никого учить. Странно, что у Вас возникло подобное представление в свете того, что свои намерения я предельно ясно изложил в этой цитате.

Изложенные Вами намерения не согласуются с вашим поведением. В последнем сообщении Вы снова пытаетесь продемонстрировать, что лучше специалистов знаете, как излагать основы математического анализа.

[ewert]

project15 в сообщении #1392530 писал(а):

Рассматривать фундаментальные последовательности с рациональными членами, определять вещественные числа как классы эквивалентности таких последовательностей? В таком подходе стимулов не больше, чем в аксиоматическом

В аксиоматическом подходе стимулов вообще никаких нет и быть не может -- просто по определению аксиоматического подхода. Между тем именно критерий Коши (фундаментальность равносильна сходимости), который Вы постеснялись упомянуть в числе своих аксиом, и является наиболее принципиальной причиной введения вещественных чисел. Без него вообще никуда -- и с теоретической точки зрения, и с вычислительной. Все же остальные варианты аксиомы полноты, которые Вы перечислили, носят сугубо технический характер. Пардон, за одним исключением -- "максимальное упорядоченное архимедово поле" вообще никому не нужно, кроме стерильно чистых эстетов.

[project15]

Padawan
Я в первых сообщениях писал

project15 в сообщении #1392079 писал(а):

Да, для конкретной проколотой $\delta$-окрестности $\dot{U_{\delta}}$ точки $a$ образ $f(\dot{U_{\delta}})$ может иметь бесконечно много точек прикосновения. Поступим следующим образом. Выберем $\dot{U_{\delta_1}}$-окрестность точки $a$. Ей соответствует $f(\dot{U_{\delta_1}})$ образ. Далее возьмем $\dot{U_{\delta_2}}$-окрестность точки $a$ (где $\delta_2 = \frac{1}{2} \delta_1$) . Ей соответствует $f(\dot{U_{\delta_2}})$ образ. Если продолжать этот процесс бесконечно много раз, то может случиться так, что будет существовать ровно одна точка, которая будет оставаться точкой прикосновения для каждого из этих образов (естественно, так будет не всегда, может случиться и так, что таких точек будет больше 1 и тогда функция не будет иметь предел в точке $a$; 1 "общая" точка прикосновения думаю должна существовать всегда, но я это еще не проверил). Ее и назовем пределом функции в точке $a$.

Допуская вольность речи, можно сказать, что предел функции - эта та единственная точка, которая будет оставаться точкой прикосновения для всех этих образов.

Будет ли такое определение эквивалентно определению Коши?

Если перевести Ваше определение на язык $\varepsilon-\delta$, то получится определение, равносильное тому, которое я дал в этой цитате. Тогда, если Ваше определение эквивалентно определению Коши, то и мое тоже. Или я ошибаюсь?

[project15]

Mikhail_K

Mikhail_K в сообщении #1392099 писал(а):

Возьмите функцию

$$ f(x)=\begin{cases}0,&x\in\mathbb{Q}\\1/x,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases} $$

Согласно Вашему определению её предел в нуле существует и равен нулю. Хотя она даже не ограничена в окрестности нуля.

Образ любой сколь угодно малой проколотой $\delta$-окрестности точки $a = 0$ содержит 2 точки прикосновения: ноль и $\infty$ . С точки зрения моего определения предела эта функция в точке $a = 0$ предел не имеет. Приведенная Вами функция контрпримером не является.

[Padawan]

project15 в сообщении #1392597 писал(а):

Тогда, если Ваше определение эквивалентно определению Коши, то и мое тоже. Или я ошибаюсь?

Да, все верно, это эквивалентно определению Коши. В процитированном Вашем сообщении все правильно. Общие точки прикосновения для всех образов - проколотых окрестностей - это и есть частичные пределы. И предел существует тогда и только тогда, когда множество частичных пределов состоит из одной точки, которая и будет пределом.

Я считаю, что надо двигаться от простого к сложному. Сначала предел последовательности, потом предел функции, определённой во всей проколотой окрестности на языке $\varepsilon-\delta$ и на языке последовательностей (и их эквивалентность), потом определение предела по множеству в предельной точке этого множества, потом в бесконечно удаленной точке (и вот тут надо сказать, что предел последовательности -частный случай), потом предел по базе. А во втором семестре эта схема ещё раз обобщается: для новых баз (окрестности точек в $\mathbb R^n$, метрическом пространстве, топологическом пространстве) и функций принимающих значения в метрических и топологических пространствах. Самое общее (по крайней мере, о котором я говорю на лекции) - предел по базе функции со значениями в топологическом пространстве.

[project15]

Сформулирую, что я понимаю под словами "предел функции в точке".
Определение. Имеем функцию $f:X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ и точку $a\in\hat{\mathbb{R}}$, которая является предельной точкой для $X$. Множество

$C(f) = \bigcap\limits_{\delta\in (0; +\infty)}^{}\overline{f(\dot{U_{\delta}}(a))}$

называется множеством частичных пределов функции $f$ в точке $a$. Функция $f$ имеет предел $A\in\hat{\mathbb{R}}$ в точке $a$ тогда и только тогда, когда $C(f) = \{A\} $. Под $\overline{f(\dot{U_{\delta}}(a))}$ понимается множество всех точек прикосновения образа $f(\dot{U_{\delta}}(a))$ некоторой проколотой $\delta$-окрестности точки $a$. Множество $\hat{\mathbb{R}}$ - множество вещественных чисел, дополненное тремя бесконечно удаленными точками. Понятия бесконечно удаленных предельных точек и точек прикосновения считаются известными.


Естественным образом возникает вопрос: всегда ли множество $C(f)$ частичных пределов функции в этой точке $a$ будет непустым?
Я уже писал, что

project15 в сообщении #1392079 писал(а):

1 "общая" точка прикосновения думаю должна существовать всегда, но я это еще не проверил).

Я считаю, что да, но с доказательством возникли трудности.
Прежде чем я напишу наброски своего доказательства, докажу лемму.
Лемма. Имеем множество $X$, для которого $a\in\hat{\mathbb{R}}$ является предельной точкой. Тогда существует некоторое множество $\mathfrak{X}\subset X$ такое, что $a$ будет являться для него единственной предельной точкой.
Доказательство: построим искомое множество $\mathfrak{X}$ следующим образом: выберем некоторую проколотую $\delta_{1}$-окрестность точки $a$. Т.к. $a$ - предельная точка для $X$, то в $\dot{U}_{\delta_{1}}$-окрестности точки $a$ найдется бесконечно много элементов множества $X$; выберем один из этих элементов и назовем его $\chi_{1}$. Далее рассмотрим некоторую проколотую $\delta_{2}$-окрестность точки $a$, где $\delta_{2}=\frac{1}{2}\delta_{1}$. В ней также найдется бесконечно много элементов множества $X$; выберем один из этих элементов (отличный от $\chi_{1}$) и назовем его $\chi_{2}$. Продолжая этот процесс бесконечное количество раз, получим некое бесконечное множество $\mathfrak{X} = \{\chi_{1}, \chi_{2},...\}$. Доказательство того, что построенное множество $\mathfrak{X}$ является искомым - тривиально. Очевидно, что $a$ действительно является предельной точкой множества $\mathfrak{X}$ и никакая другая другая точка $a'\in\mathbb{\hat{R}}$, отличная от $a$, не является предельной точкой множества $\mathfrak{X}$.

Собственно, теорема. Множество $C(f)$ частичных пределов функции $f$ в точке $a$ непусто.
Доказательство: Существует некоторое множество $\mathfrak{X}\subset X$ такое, что $a$ будет его единственной предельной точкой (см. лемму). Рассмотрим образ $f(\mathfrak{X})$ точек множества $\mathfrak{X}$. Возможно 2 случая:
1) образ $f(\mathfrak{X})$ - конечное непустое множество. В этом случае будет существовать некоторая точка $A\in f(\mathfrak{X}), прообраз которой - бесконечное множество. Тогда, какую бы $\dot{U}_{\delta}(a)$ мы бы ни взяли, в ней будет хотя бы одна точка, принадлежащая бесконечному прообразу точки $A$ (т.к. вне этой произвольно выбранной проколотой окрестности $\dot{U}_{\delta}(a)$ будет лежать лишь конечное число элементов множества $\mathfrak{X}$). Следовательно, точка $A$ будет точкой прикосновения для образа любой $\dot{U}_{\delta}(a)$.
2) образ $f(\mathfrak{X})$ - бесконечное множество. По теореме Вейерштрасса всякое бесконечное множество имеет в $\hat{\mathbb{R}}$ хотя бы одну предельную точку. Пусть предельной точкой оказалась некоторая точка $A\in\hat{\mathbb{R}}$ (если предельных точек больше, чем одна, то возьмем любую). Выберем произвольную $\dot{U}_{\delta}(a)$. Вне нее содержится лишь конечное число элементов множества $\mathfrak{X}$. Поэтому любая предельная точка образа $f(\mathfrak{X})$ будет так же предельной точкой для образа $f(\dot{U}_{\delta}(a)\cap\mathfrak{X})$, а следовательно и предельной точкой для $f(\dot{U}_{\delta}(a))$. Ввиду произвольности выбора $\dot{U}_{\delta}(a)$ заключаем, что точка $A$ будет точкой прикосновения для образа любой $\dot{U}_{\delta}(a)$.
Как видно, какой бы из 2-ух случаев ни получился, всегда будет существовать некоторая точка $A\in\hat{\mathbb{R}}$, которая будет являться точкой прикосновения для образа любой проколотой $\delta$-окрестности точки $a$, что и требовалось доказать.

Есть ли ошибки в рассуждениях? Заранее спасибо.

[Padawan]

project15 в сообщении #1394148 писал(а):

Множество $\hat{\mathbb{R}}$ - множество вещественных чисел, дополненное тремя бесконечно удаленными точками.

Это как? Либо одной пополняют, получается окружность, либо двумя, получается отрезок. С тремя как?

project15 в сообщении #1394148 писал(а):

Естественным образом возникает вопрос: всегда ли множество $C(f)$ частичных пределов функции в этой точке $a$ будет непустым?

Да, в силу компактности расширенной числовой прямой. Пересечение центрированного семейства замкнутых множеств не пусто.

[project15]

Padawan

Padawan в сообщении #1394309 писал(а):

Это как? Либо одной пополняют, получается окружность, либо двумя, получается отрезок. С тремя как?

Я воспринимаю символы $\infty; +\infty; -\infty$ просто как значки, которые удобно использовать для описания неограниченных множеств вещественных чисел. Я не знаю как строго определить эти объекты в терминах, понятных первокурснику, не произнося слова наподобие "двухточечная компактификация $\mathbb{R}$" и прочую общетопологическую терминологию (которую я не знаю). Возьмем например равенство $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \cup \{-\infty\}$. Что тогда понимается под $\{+\infty\}$? Это множество, состоящее из одного элемента? И что это за элемент тогда? Почему бесконечности со знаком связаны друг с другом и с вещественными числами отношением порядка? Это часть определения этих бесконечностей или следствие из определения? Я не знаю как ответить на эти вопросы.

Padawan в сообщении #1394309 писал(а):

Да, в силу компактности расширенной числовой прямой. Пересечение центрированного семейства замкнутых множеств не пусто.

А можно как у меня? :) Если серьезно, то на данный момент моя цель - построить (для себя) одномерный анализ, имея в распоряжении только вещественные числа и понятие функции. Проиллюстрирую, что я имею в виду. Допустим я хочу доказать теорему о том, что всякое бесконечное ограниченное множество вещественных чисел имеет предельную точку. Я могу пойти двумя путями. Доказать эту теорему напрямую из того факта, что всякое непустое ограниченное сверху (снизу) множество вещественных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Но могу пойти и вторым путем. Ввести понятия открытых и замкнутых множеств, понятие компактного множества, центрированную систему и т.д. Второй путь оперирует красивыми, общими понятиями и теоремами. Но на данном этапе мне эта общность не нужна. Стоит узкая задача - построить одномерный анализ, вводя как можно меньше объектов и оперируя как можно более простыми объектами (пусть и в ущерб общности и ценой существенного удлинения доказательств). Если можно обойтись проколотыми $\delta$-окрестностями, то я не буду вводить понятие базы и т.д.

Скажите с высоты своего опыта, это вообще имеет смысл делать?