Задача из Мищенко

[MChagall]

Задача из Сборника Мищенко.

Показать, что если поверхность имеет три семейства прямолинейных образующих, то это плоскость. И в указаниях подсказка, что надо показать что каждая точка поверхности - это точка уплощения, то есть в ней обе главные кривизны равны нулю.
Что-то не получается это сделать.
Раз у нас есть прямолинейная образующая, то поверхность линейчатая и задаётся в виде $r(u,v)=\rho(u)+vl(u)$, где $\rho(u)$ - некоторая кривая в пространстве, а $l(u)$ - единичный вектор образующей. Причем для каждой точки мы можем пойти по любой образующей, то есть могу записать поверхность тремя способами:
$r(u,v)=\rho(u)+vl(u)$
$r(u,v)=\rho(u)+vm(u)$
$r(u,v)=\rho(u)+vk(u)$.
Что с этим делать дальше?

[svv]

Через каждую точку проходит три образующих. Нормальная кривизна каждой образующей, как кривой на поверхности, равна нулю. Это значит, что для точки существует три различных проходящих через неё нормальных сечения с нулевой кривизной.

Теперь используйте формулу $k(\theta)=k_1 \cos^2\theta+k_2 \sin^2\theta$ и покажите, что двух различных нормальных сечений с $k=0$ ещё недостаточно для вывода о том, что $k\equiv 0$ для любого $\theta$, а трёх уже достаточно.

[MChagall]

Ну, возможно, так.
Главные кривизны - наибольшее и наименьшее значения кривизны нормального сечения.
1. Если прямолинейные образующие проходят в главных направлениях, то обе главные кривизны нулевые, значит полная и средняя кривизна тоже нулевые, и это плоскость.
2. Если одна из образующих в главном направлении, то одна из кривизн нулевая. Пусть $k_1=0$. Тогда $k(\theta)=k_2\sin_2\theta$. Но ноль у этой функции достигается только при $0;\pi$ (с учётом периодичности), а это уже наша образующая. Значит, других прямолинейных нет или случай 1.
3. Если ни одна из образующих не проходит по главным направлениям. Тогда в силу симметрии относительно главных направлений, прямолинейных образующих должно быть чётное число, значит, минимум четыре. Две из них не разделены главными направлениями. Но тогда, по теореме Ролля, либо между ними экстремум, чего быть не может, либо $k(\theta)$ между ними постоянна, но $k(\theta)$ не является постоянной ни на каком отрезке.
Следовательно, образующих может быть не более двух.

Верное рассуждение? Какие будут замечания?

[svv]

Да, рассуждение верное.
Мой вариант был такой. Функцию можно переписать в виде
$k(\theta)=\frac{k_1+k_2}{2}+\frac{k_1-k_2}{2}\cos 2\theta$
Отсюда видно, что (исключая случай $k_1=k_2$) функция принимает на периоде $[0;\pi)$ любое значение не более чем в двух точках, а на двух периодах $[0;2\pi)$ — не более чем в четырёх.
Значит, если значение $0$ принимается на $[0;2\pi)$ в шести точках, то $k_1=k_2$, но тогда $k(\theta)$ — константа, и притом равная нулю.

Полезно также убедиться, что поверхность может иметь два семейства прямолинейных образующих и не быть плоскостью: $z=xy$.