Ну, возможно, так.
Главные кривизны - наибольшее и наименьшее значения кривизны нормального сечения.
1. Если прямолинейные образующие проходят в главных направлениях, то обе главные кривизны нулевые, значит полная и средняя кривизна тоже нулевые, и это плоскость.
2. Если одна из образующих в главном направлении, то одна из кривизн нулевая. Пусть
. Тогда
. Но ноль у этой функции достигается только при
(с учётом периодичности), а это уже наша образующая. Значит, других прямолинейных нет или случай 1.
3. Если ни одна из образующих не проходит по главным направлениям. Тогда в силу симметрии относительно главных направлений, прямолинейных образующих должно быть чётное число, значит, минимум четыре. Две из них не разделены главными направлениями. Но тогда, по теореме Ролля, либо между ними экстремум, чего быть не может, либо
между ними постоянна, но
не является постоянной ни на каком отрезке.
Следовательно, образующих может быть не более двух.
Верное рассуждение? Какие будут замечания?