Свертка обобщенных функций

[Andrew95]

Добрый день, помогите пожалуйста разобраться.
Нужно вычислить свертку функции $\theta(t-|x|)\ast\theta(t-|x|)$ в $D'(R^2)$.
В одномерном случае, когда $\theta(|x|)\ast\theta(|x|)$ в $D'(R^1)$ у меня все получилось, а тут что-то не понимаю как даже интеграл записать.
Я пробовал так:

$$\theta\ast\theta=\int \int \theta(t-|x|-k, t-|x|-l)\theta(k,l)dkdl $$

[Red_Herring]

Andrew95 в сообщении #1393648 писал(а):

но это неправильно, как я понял.

Правильно поняли, что неправильно. Заметьте что у вас обычные функции. Напишите определение свертки.

И пожалуйста пишите $\mathscr{D}'$ и $\mathbb{R}$, а то читать противно.

[Andrew95]

я уже подправил, теперь вроде верно должно быть, смотрите

[Andrew95]

а как теперь посчитать этот интеграл? что делать с функции $\theta$ от двух переменных? свести ее к дельта функции?

[arseniiv]

Ну зачем. Разделите интегралы на куски, чтобы на каждом каждая функция Хевисайда принимала значение 0 или 1.

-- Пт май 17, 2019 20:18:34 --

Например нарисовать плоскость и посмотреть, какую область там задают неравенства, означающие, что аргументы обеих $\theta$ больше нуля.

Кстати интеграл-то опять неправильный. $\theta(t-|x|)$ уже есть функция двух аргументов $t,x$ — не надо придавать самой функции Хевисайда второй аргумент. Если и придавать, надо сначала было бы определить, что такая функция должна значить.

[Andrew95]

да не очень понятно, если я не передаю два аргумента, то получается же такой интеграл:
$\int \theta(t-|x|-k)\theta(k)dk$ и сразу ответ будет тогда: $[\theta(t-|x|)](t-|x|)$, а это неверно.

[arseniiv]

Да, это тоже неправильно. Вот у вас функции $f, g\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ от пар чисел; свёртка их будет по определению

$$(f * g)(\mathbf x) = \int\limits_{\mathbb R^2} f(\mathbf x - \mathbf y)\, g(\mathbf y)\, d\mathbf y,$$

где, внимание, $\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^2$ — это пары. Теперь вы можете расписать эти пары $\mathbf x = (t, x)$ и $\mathbf y = (u, y)$ и сделать интеграл повторным.

[Andrew95]

так, тогда получается после того как расписал такое выражение:

$$(f\ast g)(t,x)=\int\int f((t-u),(x-y))g(u,y)dudy$$

правильно?

[arseniiv]

Ага, теперь подставите конкретные хевисайды и должно выйти.

[Andrew95]

тогда получается так, да?

$$(\theta\ast\theta)(t,|x|)=\int \int \theta((t-u),(|x|-y))\theta(u,y)dudy$$

но что-то у меня все равно ответ неверный получается

[arseniiv]

Ну так $f(t, x) = g(t, x) = \theta(t - |x|)$, а не вот то.

[Andrew95]

что-то я все равно не понимаю как подставлять. У меня с самого начала эта проблема была.
Хотя вроде сделал просто по аналогии
$\theta $ всегда зависит получается от $(t-|x|)$?

[Red_Herring]

arseniiv в сообщении #1393682 писал(а):

Например нарисовать плоскость и посмотреть, какую область там задают неравенства, означающие, что аргументы обеих $\theta$ больше нуля.

По моему, после такой подсказки если не получается посчитать, надо Calculus II по новой брать. Andrew95 Чему равна ваша функция (не формулу пишите, а руками покажите)?

[Andrew95]

Так у меня же интеграл неверно составлен, есть ли смысл сейчас смотреть?
и разве в Calculus II есть интегралы от обобщенных функций?

[Red_Herring]

Andrew95 в сообщении #1393800 писал(а):

и разве в Calculus II есть интегралы от обобщенных функций?

Какая к черту обобщенная функция? У вас самая обычная функция, все остальное бла-бла. И кстати, объясните, что такое у вас $x$ и $t$? Координаты точки или же $x=(x_1,x_2)$, а $t$ параметр?