Область определения функции при интегрировании подстановкой

[graphenegolem]

Добрый день!
У меня возник такой вопрос: допустим, у нас есть интеграл вида $ \int \frac{dx}{1-x^2} $. Он не сходится, но не суть. Можно ли было бы его брать с помощью замены переменной функцией $x = \sin t$? Есть подозрение, что этого было бы сделать нельзя из-за различий в области определения: $x$ определен на всем интервале от минус до плюс бесконечности, а синус от действительного $t$ таких значений не принимает. Спасибо.

[Otta]

(Оффтоп)

А не поломаетесь ли?

Ну положим, при $|x|<1$ можно. (При остальных - отдельный вопрос). Так Вы попробуйте, что выйдет-то. Напишите. А потом спрашивайте. Скорее, вопрос "можно ли" трансформируется в "нужно ли" - или я очень удивлюсь.

graphenegolem в сообщении #1393317 писал(а):

Он не сходится, но не суть.

Вот это вот "сходится" и вычисление первообразной - это слова из разных опер вообще. Для того, чтобы определять сходимость, первообразную не нужно считать.

[graphenegolem]

Я не пытаюсь определить сходимость. Скорее, мой вопрос сводится к следующему: верно ли я понимаю, что при интегрировании заменой переменной допустимо использование только таких функций, значения которых могут принимать весь диапазон исходной переменной? Т.е. если мы пытаемся заменить $x$ (и у нас нет каких-либо ограничений на него, т.е. интеграл задан на всей действительной прямой), то на замену годятся только такие функции $f(t)$, которые взаимно-однозначно соответствуют полной области определения нашего $x$?
Сорри, если я коряво формулирую/понимаю проблему; осознавал бы лучше - наверное, и вопроса не возникло бы.

[Otta]

Вообще говоря да, верно. Но.
Что Вам мешает состряпать замену и на оставшемся кусочке при $|x|>1$?

[graphenegolem]

Спасибо, вы ответили на мой вопрос :)
Ничего не мешает, нужно было просто понять для себя этот момент, что при $|x| \leq 1$ мы должны/можем использовать одну замену, а для остального диапазона - другую, и что иначе никак.

[Otta]

graphenegolem в сообщении #1393328 писал(а):

Ничего не мешает,

Бывает, это кажимость одна.
$c_1+\arctg x =\int \frac{dx}{1+x^2}=\int\frac{1}{1+1/x^2}\frac{dx}{x^2}=-\int\frac{1}{1+1/x^2}\,d\frac{1}{x}=-\arctg{1/x}+c_2$
Нормально будет?

То есть ничего не мешает, но надо быть аккуратным.

[Munin]

Вообще вся эта наука про интегрирование формул - родом из комплексных чисел.
Поэтому, в целом работает так: если вы можете сделать что-то в действительных числах - оно работает и в комплексных. А если вы что-то можете сделать в комплексных - то можно, как-то изогнувшись, перенести этот результат в действительные. То есть, решать задачу удобнее в комплексных числах, а потом, когда это уже сделано, переносить результат.

Например,

$$\arcsin(2)=-i\operatorname{arsh}(2i)=-i\ln(2i+i\sqrt{3})=\dfrac{\pi}{2}-i\ln(2+\sqrt{3}).$$

То есть, замена на остальной оси работает, только в действительном виде она будет как-то выражаться через $\sh$ или логарифмы.