Ударные волны и обобщённые решения

[Mikhail_K]

Munin
Спасибо!

[Red_Herring]

Mikhail_K в сообщении #1393061 писал(а):

Пожалуйста поясните, что Вы имеете в виду под "принципиальной разницей", которой нет для линейных уравнений с гладкими коэффициентами и которая есть для нелинейных.

Ну я поясню для постоянных коэффициентов. Вот предположим у уравнения $Lu=0$ есть решение из $C^N$, но не $C^{N+1}$ в окрестности мн-ва $X$. Тогда $v=D^{2N}u$ будет сингулярным и самые сильные сингулярности будут там же.

У линейного волнового уравнения сингулярности в классах гладких и обобщенных функций распространяются одинаково вдоль характеристик (при рассеянии аналитические сингулярности могут распространяться по другому).

Теперь рассмотрим $u_t+(u^2/2)_x=0$. Если решение из $C^n$, но не $C^{n+1}$, то разрывы соответствующих производных распространяются вдоль характеристик ($n=0,1,\ldots$) $\frac{dt}{1}=\frac{dx}{u}=\frac{du}{0}$. А вот если решение из $L^\infty$, но не $Ц$, то разрывы распространяются по другому (либо как ударная волна, либо разрыв распадается).

Mikhail_K в сообщении #1393061 писал(а):

И как минимум Комеч применяет это понятие и к разрывным решениям линейного волнового уравнения.

Ну хочется ему. Тогда разрывы первых производных можно назвать "слабая у.в.", вторых--"очень слабая у.в.", а третьих--"ну очень слабая у.в.", и т.д. По мне неча множить кол-во терминов.

[Munin]

А что такое аналитические сингулярности?

Раз уж так, то назову и
Полянин, Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. (2002)
Полянин и др. Методы решения нелинейныx уравнений математической физики и механики. (2005)
но тут уж мне квалификации не хватает определить, есть ли в них это уравнение, или нет.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1393167 писал(а):

А что такое аналитические сингулярности?

Неаналитичность. И если есть распространение волн во внешности сильно выпуклого препятствия, то гладкие сингулярности в зону тени не заползают, а аналитические--да, т.н. ползучие волны (creeping waves). Если рассматривать быстро осциллирующие решения, то в тени они убывают как $\exp (-\mu k^{1/3})$ где $\mu $ зависит от расстояния до границы тени.

С этим связано то, что в данном случае особенности в классах Жевре с показателем $>3$ распространяются как гладкие, а $<3$ как аналитические.

[Munin]

Какие ужасы вы рассказываете! Пойду я отсюда, а то спать не буду...

-- 15.05.2019 17:49:38 --