2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нахождение применённого кватерниона
Сообщение02.09.2018, 22:15 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
1. Имеем прямоугольный параллелепипед с координатами (x1, y1, z1) и размерами (dx1, dy1, dz1) к нему был применён один из единичных кватернионов, он повернулся и он перешёл в положение (x2, y2, z2) и размеры (dx2, dy2, dz2). Каким образом это посчитать?
2. Ещё больше интересен вопрос, имея начальные и конечные координаты как вычислить кватернион поворота?

Если можно примерчик с конкретными цифрами, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение02.09.2018, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Isaev в сообщении #1336149 писал(а):
Каким образом это посчитать?
Что посчитать, результат поворота или какой кватернион был применён?

Вообще тут теория простейшая, см. напр. специальную отдельную страницу https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation.

Если вам нужно определять именно поворот, переведший одну правую тройку векторов в другую, это делается просто: сначала находим матрицу поворота — а это просто столбцы координат одной тройки в базисе другой — и потом находим кватернион по матрице (второе по ссылке описано). Если известны ось и угол вращения, можно обойтись без нахождения матрицы, посчитав экспоненту (по ссылке тоже есть). Подобным же образом можно найти кратчайший поворот одного вектора в другой (когда он существует).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение02.09.2018, 22:50 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
arseniiv в сообщении #1336151 писал(а):
Вообще тут теория простейшая...

Теория то простейшая, хотелось бы понять, почему на практике не получается( Учился давно, забылось многое, а кватернионы вообще как-то мимо программы везде пролетели, недавно только о них узнал.
Давайте я попробую нарисовать как делаю, а вы попробуете найти в каком месте у меня проблемы?

-- 02.09.2018, 21:16 --

Начиная с простой точки:
Дана точка с координатами (6, 0, 4) и кватернион поворота (0.5, 0.5, 0.5, 0.5). Найти результирующую точку.
$$\begin{bmatrix}6 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 4\end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix}0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}0 & 0 & 6 \\0 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0\end{bmatrix}$$
Уже тут что-то не сходится... По идее этот кватернион должен выразиться через $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
и тогда всё получается правильно..., но в wiki дана именно такая формула перевода.
Почему получается это смещение строк?
И можно ли это сделать не через матрицы, а через вектора сразу?
Нигде не нашёл формулу перевода кватерниона в вектор...

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение02.09.2018, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Так вы вектор диагональной матрицей представили — а зачем? Это столбец должен быть. (А матрица правильная получилась. Кстати если вам важна будет производительность, её вычисление можно оптимизировать до 12 умножений и 12 сложений.) Тогда и результат будет $(4, 6, 0)^t$.

Isaev в сообщении #1336158 писал(а):
И можно ли это сделать не через матрицы, а через вектора сразу?
Можно применить кватернион к одному вектору за меньшее число операций, чем через перевод его в матрицу и её умножение на вектор (в статье выше есть формула с векторным произведением в разделе Performance comparisons / Used methods, но и то надо будет оптимизировать вычисления, иначе толку мало), но уже для двух векторов с матрицей будет быстрее, и разница тем больше, чем больше векторов нужно одинаково поворачивать.

Isaev в сообщении #1336158 писал(а):
Нигде не нашёл формулу перевода кватерниона в вектор...
А её и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение03.09.2018, 11:18 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
arseniiv в сообщении #1336188 писал(а):
Так вы вектор диагональной матрицей представили — а зачем? Это столбец должен быть. (А матрица правильная получилась.

где-то в сети нашёл такой пример перевода вектора в матрицу... Теперь всё проясняется, спасибо.

arseniiv в сообщении #1336188 писал(а):
Кстати если вам важна будет производительность, её вычисление можно оптимизировать до 12 умножений и 12 сложений.) Тогда и результат будет $(4, 6, 0)^t$.

производительность будет нужна, очень... я потому до последнего и не хотел связываться с матрицами, т.к. координаты целочисленные в пределах [0..6], кватернионы единичные, для них и я вообще сделал предварительно вычисленную табличку умножения и производительность не потерялась, потому результат тоже всегда целочисленный... А операции с матрицами какие-то затратные... Потому хотелось обойтись без них, но без них получается слишком много кода, который сложно отлаживать, потому решил попробовать таки их использовать и посмотреть что в производительности потеряется.

Для второго пункта, например, чтобы по начальному и конечному положению вычислить кватернион, придётся же умножать одну матрицу на обратную другой? Чтобы найти обратную матрицу, нужно делить элементы на определитель и без плавающей арифметики не обойтись? Или таки для целочисленных вычислений есть какие-то свои методы?

arseniiv в сообщении #1336188 писал(а):
но уже для двух векторов с матрицей будет быстрее

У меня же два вектора получается? Координат и размеров... или их можно в одну матрицу запаковать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение03.09.2018, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Isaev в сообщении #1336303 писал(а):
кватернионы единичные
Ну, если они соответствуют только поворотам, которые переставляют координаты и иногда меняют им знаки, то, видимо, можно просто запоминать перестановку (и смены знака) и применять её, но это может оказаться дольше из-за неугадываний ветки условного перехода процессором, а как сделать такое без проверки условий, в отличие от умножения матрицы на столбец, не представлю. Если у вас такие повороты, то и матрицы можно брать (и куда-нибудь записать, конечно) целочисленные из $0,\pm1$ — неужели 9 целочисленных умножений и 6 сложений — так плохо?

В принципе можно попытаться заменить умножения какими-то битовыми операциями, но присутствие $-1$ усложняет дело, и я в таких совсем уж низкоуровневых оптимизациях не разбираюсь, но кто-нибудь, возможно, что-то предложит.

Isaev в сообщении #1336303 писал(а):
У меня же два вектора получается? Координат и размеров... или их можно в одну матрицу запаковать?
Можно запаковать, приставив их друг к другу, но не имею понятия, даст ли это какой-то выигрыш. Что умеют векторные операции процессора, тоже не знаю.

Isaev в сообщении #1336303 писал(а):
Для второго пункта, например, чтобы по начальному и конечному положению вычислить кватернион, придётся же умножать одну матрицу на обратную другой? Чтобы найти обратную матрицу, нужно делить элементы на определитель и без плавающей арифметики не обойтись? Или таки для целочисленных вычислений есть какие-то свои методы?
Целых чисел в любом случае не хватит, если повороты не просто переставляют координаты и меняют им знаки. А если нет, то можно попробовать найти интересующую перестановку как-то в обход, смотря непосредственно кто куда переходит. Но опять не уверен, будет ли это быстрее и таким кодом, на который приятно смотреть и легко отладить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение03.09.2018, 18:01 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
arseniiv в сообщении #1336410 писал(а):
Можно запаковать, приставив их друг к другу, но не имею понятия, даст ли это какой-то выигрыш.
Одно умножение матриц вместо двух, надеялся я.. нет? Мы же один и тот же кватернион применяем и к координатам и к размерам объекта

arseniiv в сообщении #1336410 писал(а):
Целых чисел в любом случае не хватит, если повороты не просто переставляют координаты и меняют им знаки.
Все вращения и перемещения исключительно в границах положительного октанта, никаких смен знаков

arseniiv в сообщении #1336410 писал(а):
А если нет, то можно попробовать найти интересующую перестановку как-то в обход, смотря непосредственно кто куда переходит. Но опять не уверен, будет ли это быстрее и таким кодом, на который приятно смотреть и легко отладить.
это сейчас примерно так и работает, выглядит ужасно (потому и подумал о перестройке), работает быстро (быстродействие терять не хотелось бы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение03.09.2018, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Хм, интересно. Ну, мне пока нечего добавить. :-)

Isaev в сообщении #1336415 писал(а):
Одно умножение матриц вместо двух, надеялся я.. нет?
Но общее число операций-то не поменяется. :-) Вот если использовать векторные операции процессора, наверно такое объединение осмысленно. Но лучше подождать тех, кто знает — я даже не в курсе, есть ли целочисленные, или они только для флоатов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение13.05.2019, 18:02 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
Я в общем снова запутался в теории...
У меня трёхмерное пространство, есть вектор координат кубоида (т.е. координаты его левого нижнего ближнего угла), допустим С(0,2,1) и вектор его размеров, например S(2,1,1).
[1]. Мне его нужно повернуть на 90° вокруг оси Y, проходящей через точку O(1,1,1).
У меня есть единичный кватернион поворота вокруг оси Y Q$\left( \begin{matrix}1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{matrix} \right)$. Но я же не могу его просто применить к координатам? Мне нужна матрица смещения сначала, чтобы вернуться к началу координат так? т.е.
$
\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right)$
потом нужно кватернион перевести в матричный вид, по этой формуле
потом сделать обратное смещение на
$
\left( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right)$
и в результате я ну никак не получаю в ответе C'(1,2,1). А для размеров хотелось бы получить S'(1,1,2).
и ещё получается матрица 4х4, что меня так же путает, как вернуться к трём координатам?
Это по идее получится при идентичных манипуляциях, как с координатами или тут нужно что-то другое думать?
в каком месте я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение13.05.2019, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Так, ну если вы пользуетесь матрицами 4×4, чтобы делать параллельные переносы и прочие дополнительные штуки (типа центральной проекции на какой-нибудь экран), то четвёртой координатой точки надо брать единицу, и потом, если всё было корректно, она останется единицей, и её можно проигнорировать в конце, взяв опять три первые координаты. (Ещё если понадобится преобразовывать векторы, им надо брать четвёртой координатой ноль; опять же его сохранение в конце — маркер того, что код правильный.)

А вот несовпадение может быть, например, от того, что смещение было в обратную сторону. Здесь правда всё с этим хорошо, зато есть другая причина: кто-то может умножать строку из координат точки на матрицу, а кто-то матрицу на столбец координат; те, которые вы написали — для первого случая, а во втором они дадут действительно не то: столбец $\begin{bmatrix}x & y & z & 1\end{bmatrix}^t$ переведётся второй матрицей в $\begin{bmatrix}x & y & z & x+y+z+1\end{bmatrix}^t$, то есть мы сделали, если руководствоваться правилами выше, что-то не то. Если же транспонировать эти матрицы, всё будет правильно: в этом случае выйдет $\begin{bmatrix}x+1 & y+1 & z+1 & 1\end{bmatrix}^t$. Вот транспонированные в случае умножения на столбец и берут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение14.05.2019, 11:49 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
[1] начальные координаты: $\left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 2&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$

[2] матрица смещения к O: $\left(\begin{matrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ -1&-1&-1&1 \end{matrix} \right)$

[3] кватернион Q: $\left(\begin{matrix} 1/\sqrt{2} \\ 0 \\ 1/\sqrt{2} \\ 0 \end{matrix} \right)$ = $\left(\begin{matrix} 0&0&1&0 \\ 0&1&0&0 \\ -1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$

[4] матрица смещения назад: $\left(\begin{matrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 1&1&1&1 \end{matrix} \right)$

тут почему-то смещения никакого не происходит:
[5] = [1] * [2] = $\left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 2&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$

[6] = [4] * [3] = $\left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$

ну и назад нет смещения:
[7] = [6] * [4] = $\left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 0&0&2&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$

-- 14.05.2019, 09:56 --

arseniiv в сообщении #1392805 писал(а):
если вы пользуетесь матрицами 4×4, чтобы делать параллельные переносы и прочие дополнительные штуки (типа центральной проекции на какой-нибудь экран)

я думал это необходимость, т.к. вращение не относительно центра координат... или в этом простом случае это можно упростить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение14.05.2019, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Isaev в сообщении #1392911 писал(а):
[1] начальные координаты: $\left(\begin{matrix} 0&0&0&0 \\ 2&0&0&0 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right)$
Здесь не обязательно брать прям матрицу, можно один столбец, если что. И вы забыли единицу четвёртой координатой поставить. :-) Она в некотором смысле отвечает за учёт параллельных переносов — если вместо неё ноль, они пройдут мимо, а если $a$, они будут в $a$ раз больше, чем надо. И опять несоответствующая «раскладка» компонент. Смотрите, или перенос получается как $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & a_x \\ 0 & 1 & 0 & a_y \\ 0 & 0 & 1 & a_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + a_x \\ y + a_y \\ z + a_z \\ 1 \end{bmatrix},$$или, если всё транспонировать, как $$\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ a_x & a_y & a_z & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + a_x & y + a_y & z + a_z & 1 \end{bmatrix}.$$По-другому получится действительно не то. :-)

Isaev в сообщении #1392911 писал(а):
я думал это необходимость, т.к. вращение не относительно центра координат... или в этом простом случае это можно упростить?
Смотря что значит упростить. Матрицы используются, потому что можно всё преобразование целиком, ещё и со всякими перспективными искажениями, потом задать одной такой матрицей и наприменять её ко всем нужным точкам. Если например для преобразований вида $A\vec v + \vec b$ хранить матрицу $A$ и вектор $\vec b$, то композиция преобразований $(A,\vec b)$ и $(A',\vec b')$ будет равна $(AA', A\vec b' + \vec b)$, а если затолкать это всё в одну большую матрицу, мы их просто умножаем и не паримся. В оптимизированных алгоритмах в принципе может быть и так, и так, в зависимости от того, какие векторные операции процессор поддерживает (тут я не разбираюсь).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение15.05.2019, 17:11 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
Заработал разворот, это большой шаг вперёд, огромное спасибо! :-)

arseniiv в сообщении #1392994 писал(а):
Матрицы используются, потому что можно всё преобразование целиком, ещё и со всякими перспективными искажениями, потом задать одной такой матрицей и наприменять её ко всем нужным точкам. Если например для преобразований вида $A\vec v + \vec b$ хранить матрицу $A$ и вектор $\vec b$, то композиция преобразований $(A,\vec b)$ и $(A',\vec b')$ будет равна $(AA', A\vec b' + \vec b)$, а если затолкать это всё в одну большую матрицу, мы их просто умножаем и не паримся.

1. Тут как бы запаковать перенос туда и обратно не получится же? они взаимоисключающие... всё равно придётся их использовать отдельно друг от друга?

Вопрос номер 2.: С размером, естественно, по той же схеме не работает (и не должно по идее)... Как его посчитать?
это какая-то проекция чтоли, даже не представляю... как бы объяснить... Идея в том, что если объект имеет размеры (2, 3, 4), мы поворачиваем вокруг оси Y, при этом конечно размеры не меняются. А вот если мы теряем информацию о повороте, то перед нами объект с размерами (4, 3, 2). Как это вычислить?

И номер 3.: имея начальный и конечный вектор получить кватернион поворота. Тут как я понимаю порядок действий обратный, но делить мы матрицы не можем, потому умножаем конечную на инвертированную начальную?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение16.05.2019, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
25190
Уфа
Isaev в сообщении #1393178 писал(а):
1. Тут как бы запаковать перенос туда и обратно не получится же? они взаимоисключающие... всё равно придётся их использовать отдельно друг от друга?
Не, можно. Перенос на $\vec b$, поворот $R$ и перенос обратно дают $R(\vec v + \vec b) - \vec b = R\vec v + R\vec b - \vec b$, что нормально задаётся парой $(R, R\vec b - \vec b)$. Вот проективные преобразования сюда уже не влезут.

Про размеры. Ну, если повороты оставляют кирпич ориентированным по осям, то если взять векторы $\Delta x\vec\imath, \Delta y\vec\jmath, \Delta z\vec k$ и повернуть так же, новое $\Delta x'$ будет модулем того из результатов, который коллинеарен $\vec\imath$ и т. д.. Практически, если не прибегать всё-таки к явной записи перестановок (со знаками) вместо поворотов, можно это сделать, записав $\Delta x\vec\imath, \Delta y\vec\jmath, \Delta z\vec k$ друг за другом в матрицу (получится диагональная $\operatorname{diag}(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$), действовать поворотом на неё, а потом взять максимальное по модулю число в первой строке как $\Delta x'$, максимальное по модулю во второй строке как $\Delta y'$, ну и с третьей $\Delta z'$. (Беря максимум по модулю, избежим потенциального превращения нулей во что-то маленькое. Впрочем если у вас можно сделать всё целочисленным, можно будет прямо проверять на не нулевые значения, и даже просто брать суммы элементов строки, что должно быть чуть быстрее на процессорах, угадывающих альтернативы if.)

Но если у вас только повороты—симметрии куба (переставляющие декартовы оси местами, плюс-минус знаки), я бы это закодировал (что упомянуто выше) именно тем, какая перестановка и какое изменение знаков. Тогда перестановку можно применять к $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$ и получать новые размерности кирпича, да и к координатам точек тоже можно применять, ну а перенос делать отдельно, что уж. Где-то с кем-то вроде эти перестановки обсуждали недавно, но забыл где и с кем.

Isaev в сообщении #1393178 писал(а):
И номер 3.: имея начальный и конечный вектор получить кватернион поворота. Тут как я понимаю порядок действий обратный, но делить мы матрицы не можем, потому умножаем конечную на инвертированную начальную?
Не, тут хитрее. Во-первых, можно повернуть один вектор в другой не единственным способом. Ну, вам наверно нужен был поворот на наименьший угол — тогда всё почти всегда хорошо, если только векторы не противоположны. Тогда есть куча равноценных поворотов (на 180°), где ничего уже не уточнить. В этом случае стоит поворачивать пару (неколлинеарных) векторов в пару векторов — вот тогда результат будет однозначен (но и угол не обязательно будет наименьшим).

Определять для одиночных векторов $\vec v,\vec v'$ можно, найдя, раз тут трёхмерие, вектор, ортогональный плоскости $\langle\vec v,\vec v'\rangle$, просто взяв их векторное произведение. Заодно оно же даст и угол, на который надо будет поворачивать. По оси и углу можно найти матрицу поворота.

Для пар векторов иначе: дополняем их до правой тройки каждую, а вот уже после этого можно записать из столбцов координат первых матрицу $A$, из столбцов вторых матрицу $B$, и взять $BA^{-1}$.

(В представлении перестановками можно было бы просто посмотреть, куда переходит $(x,0,0)$, куда $(0,y,0)$, куда $(0,0,z)$, причём третий вектор по двум заданным можно опять определить векторным произведением, или сократить вычисления, просто поставив единицу в оставшейся координате и поставив там минус, если тройка получается левая.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение применённого кватерниона
Сообщение16.05.2019, 02:03 
Аватара пользователя


20/07/16
14
Germany
arseniiv в сообщении #1393245 писал(а):
Перенос на $\vec b$, поворот $R$ и перенос обратно дают $R(\vec v + \vec b) - \vec b = R\vec v + R\vec b - \vec b$, что нормально задаётся парой $(R, R\vec b - \vec b)$.

Можно это в виде матрицы, если не сложно?
При переносе, кстати, в моём случае всегда $\Delta x = \Delta y = \Delta z$, думаю это тоже может всё упростить...

arseniiv в сообщении #1393245 писал(а):
Ну, если повороты оставляют кирпич ориентированным по осям

Оставляют, повороты только на единичные кватернионы, потому ориентация по осям никогда не нарушается.

arseniiv в сообщении #1393245 писал(а):
Впрочем если у вас можно сделать всё целочисленным, можно будет прямо проверять на не нулевые значения

Да, я так и обнулял эти ошибки переполнения.

arseniiv в сообщении #1393245 писал(а):
Но если у вас только повороты—симметрии куба (переставляющие декартовы оси местами, плюс-минус знаки), я бы это закодировал (что упомянуто выше) именно тем, какая перестановка и какое изменение знаков. Тогда перестановку можно применять к $(\Delta x,\Delta y,\Delta z)$ и получать новые размерности кирпича, да и к координатам точек тоже можно применять

Да, именно тот случай, только симметрии...
Кстати да, очень не плохая идея. Я на это смотрел с позиции объекта, а не поворота и получалось очень не красиво это всё хранить.

arseniiv в сообщении #1393245 писал(а):
Во-первых, можно повернуть один вектор в другой не единственным способом. Ну, вам наверно нужен был поворот на наименьший угол — тогда всё почти всегда хорошо, если только векторы не противоположны. Тогда есть куча равноценных поворотов (на 180°), где ничего уже не уточнить.

Вроде в случае единичных кватернионы всё вполне однозначно должно получаться. Можно конечно перемножить множество различных поворотов и прийти к 180, но путь нам не важен, а результат всегда однозначен.

Далее по третьему пункту запутался, можно пример с конкретными цифрами?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group