Поиск условий равенства НОД для двух последовательностей

[VitalyGrigoriev]

Я рассматриваю два множества чисел $A=\{a_1,...,a_n\}$ и $B=\{k-a_1,...,k-a_n\}$, где $a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \le k$.

Я ищу такие условия, при которых: $\gcd(a_1,...,a_n) = \gcd(k-a_1,...,k-a_n)=1$.
А так же, в более общей форме: $\gcd(a_1,...,a_n) = \gcd(k-a_1,...,k-a_n)$.

Я нашел только 5 частных решений этой задачи:
1. Если $\exists a_s \in A$, что $k-a_t=a_s$, где $a_t \in A$ то $\gcd(a_1,...,a_n) = \gcd(k-a_1,...,k-a_n)$.
2. Пусть $\gcd(a_1,...,a_n)=e$ и $\gcd(a_n-a_1,...,a_2-a_1)=E$. Если $e=E$ и $e|k$, то $\gcd(a_1,...,a_n) = \gcd(k-a_1,...,k-a_n)$.
3. Пусть $P=p_1 \cdot ... \cdot p_n$ произведение первых n простых чисел $p_i$. Пусть $a_i=\frac{P}{p_i}$ и $k=P$, тогда $\gcd(a_1,...,a_n) = \gcd(k-a_1,...,k-a_n) = 1$.
4. Пусть $\gcd(k-a_1,...,k-a_n) = 1$ и $a_i|k, \forall a_i \in A$, тогда $\gcd(a_1,...,a_n) = 1$.
5. Пусть $\gcd(a_1,...,a_n) = 1$ и $k = a_n + 1$, тогда $\gcd(k-a_1,...,k-a_n) = 1$.

Я уверен, что есть еще частные решения, но не могу их найти. Буду очень благодарен, если дадите идею.

[Otta]

VitalyGrigoriev
Баксики расставьте по краям формул, пока Вас в карантин не унесли.

[svv]

(Оффтоп)

Ещё красивее будет, если писать \gcd, получится
$\gcd(a_1,...,a_n) \equiv \gcd(k-a_1,...,k-a_n)=1$.