Экстремумы функции

[ihq.pl]

Всем привет.
Есть функция $f=f(p,q)$, где $p$ и $q$ - точки на двумерных сферах $S_1$ и $S_2$ соответственно. Известно, что сферы не пересекаются. Надо найти экстремумы этой функции. Первое, записываю $f$ в сферических координатах и получаю $f = f(\theta_1, \varphi_1; \theta_2, \varphi_2)$, где $\theta, \varphi$ - стандартные зенитный и азимутальный углы. Потом приравниваю частные производные по углам к нулю и решаю систему четырех уравнений. Одним из решений является пара $p=(0, \varphi_1), q=(0, \pi/2)$ при любом $\varphi_1$, или пара $q=(0, \pi/2), q=(0, \varphi_2)$ при любом $\varphi_2$. Эти точки являются полюсами сфер. Вопрос такой. Можно ли считать эту пару экстремумом функции $f$? Скорее всего, нет, верно? По-моему, если экстремум в полюсе, то не должно быть зависимости от $\varphi$.

[svv]

Я предложу простой пример, в котором происходит то же, что у Вас. Исследуйте, почему так получается.

На сфере $x^2+y^2+z^2=1$ зададим функцию, равную декартовой координате $x$. В сферических координатах $f(\theta,\varphi)=\sin\theta\;\cos\varphi$.
Найдем частные производные по сферическим координатам:
$\frac{\partial f}{\partial \theta}=\cos\theta\;\cos\varphi$
$\frac{\partial f}{\partial \varphi}=-\sin\theta\;\sin\varphi$
Посмотрим, не обращаются ли частные производные в нуль на северном полюсе ($\theta=0$). Видим, что $\frac{\partial f}{\partial \varphi}=0$ сразу. И $\frac{\partial f}{\partial \theta}=0$ тоже, если положить $\varphi=\frac{\pi}{2}$.

Поразительно напоминает Ваш результат. При этом ясно, что никакого экстремума на полюсе нет.

[arseniiv]

Можно добавить, что ещё проблемы могли возникнуть на границе промежутка допустимых значений $\varphi$. И если пойти к гадалке, она скажет, что одной карты ей мало.

[svv]

(Оффтоп)

Неужто гадалке целый атлас нужен?
Не зря карты называются атласными.

[ihq.pl]

ну да, никакого экстремума в полюсе в моей задаче нет, иначе производная по $\theta$ была бы нулем для всех $\varphi$. Но я уже знаю, что максимум находится в малой окрестности полюса. Хочу попробовать следующее. Зависимость от $\varphi$ частной производной по $\theta$ в полюсе позволяет найти меридиан, вдоль которого происходит максимальный рост функции. Это меридиан $\varphi = 0$. Попробую исследовать функцию вблизи полюса в направлении этого меридиана. Думаю, вернее, хочется верить, что максимум находится именно на нём

[arseniiv]

А повернуть немного системы координат будет неудобно для вычислений? Притащить экватор (ну кроме линии смены дат) к интересующему месту — и никаких возможных проблем с полюсом.

(svv)

Вероятно, целый. Порванный атлас никому не понравится, особенно когда там дырки на всех картах, где находится интересующее для предсказания будущего место.

А про карты не знал, что это их название, интересно.

[ihq.pl]

arseniiv в сообщении #1392688 писал(а):

А повернуть немного системы координат будет неудобно для вычислений?

Вид функции не инвариантен по отношению к поворотам. То, что сейчас, - самый простой вид. Хотя, в этом что-то есть. Скажем, найти такой поворот, при котором частная производная по $\theta$ не зависит от $\varphi$ и равна нулю.

[Sicker]

ihq.pl
Через множители лагранжа не пробовали?
Или если нужно численно, то просто раскидайте кучу точек, найдите мкксимум в первом приближении, потом вокруг него еще раскидайте точек в меньшем радиусе, и т.д.

[ihq.pl]

Sicker
надо подумать, как это сделать. Проблема в том, что у меня две не пересекающихся сферы. Решить численно было бы идеально, но мне надо в общем виде. Функция $f$ у меня - это зависимость ошибки наблюдаемого параметра от погрешностей измерений. Не архи прям сложное выражение, но и не простое, для которого мне надо найти границы области значений, желательно в общем виде. Ну, в крайнем случае можно, конечно, разложить в ряд Тейлора и оценить линейную часть. Всё идет к этому:))

[Sicker]

ihq.pl в сообщении #1392723 писал(а):

Проблема в том, что у меня две не пересекающихся сферы

Тут проблемы никакой нет, ММЛ работает как обычно

[svv]

Для поиска точек экстремума Вы в каждой точке сферы находите частные производные $\frac{\partial f}{\partial \theta}$ и $\frac{\partial f}{\partial \varphi}$ и требуете, чтобы в нуль обращались обе.

А в полюсе можно порекомендовать вместо этого находить только частную производную $\frac{\partial f}{\partial \theta}$, но для двух разных значений угла $\varphi$ (таких, чтобы разность между ними была отлична от $\pi n$). Скажем, $\left.\frac{\partial f}{\partial \theta}\right|_{\theta=0,\varphi=0}$ и $\left.\frac{\partial f}{\partial \theta}\right|_{\theta=0,\varphi=\frac{\pi}2}$ . Ну, или вообще проверять в полюсе условие: $\frac{\partial f}{\partial \theta}=0$ при любом $\varphi$
Я, конечно, предполагаю, что Ваша функция $f$ гладкая.