2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выпрямление пары внешних диф. 2-форм в 2D
Сообщение11.05.2019, 15:23 
Заслуженный участник


29/08/13
286
Добрый день!

Подскажите пожалуйста, какого универсального вида можно добиться в следующей ситуации:

Есть у меня в $\mathbb{R}^2$ две внешние дифференциальные 2-формы: $\omega^1 = f(a, b)da\wedge db$ и $\omega^2 = g(a, b)da\wedge db$.
Я знаю, что в данной системе координат всюду $f(a, b) > 0$. Тогда, например, замена $A = a, B = \int_0^b f(a, s)ds$, позволяет хотя бы локально в окрестности каждой точки получить вид
$$
\omega^1 = dA\wedge dB,\qquad \omega^2 = \dfrac{g(A, b(A, B))}{f(A, b(A, B))}dA\wedge dB\,.
$$
В этой ситуации вид $\omega^1$ меня устраивает, пусть таким и побудет, например. Хочется добить ещё $\omega^2$ до приличного вида её компоненты выбором локальных координат. Тогда от координат $(A, B)$ я могу переходить только к таким локальным координатам, для которых якобиан замены равен $1$. То есть, фактически я как будто работаю с функцией
$$
h(A, B) = \dfrac{g(A, b(A, B))}{f(A, b(A, B))}
$$
и пытаюсь в координатах записать её "как можно приличнее", но так, чтобы якобиан при замене был равен $1$. Есть ли какой-то универсальный вид такой функции (понятно, что в зависимости от того, ноль ли форма в рассматриваемой точке и т.д.)? Желательно при этом, чтобы преобразование, выпрямляющее $\omega^1$ и $\omega^2$ до универсального вида, было совсем единственным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпрямление пары внешних диф. 2-форм в 2D
Сообщение11.05.2019, 15:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Если $H(z),\quad z=(A,B)$ --функция и $dH(z')\ne 0$ то в окрестности точки $z'$ можно ввести симплектические координаты $(p,q),\quad dA\wedge dB=dp\wedge dq$, такие что $H=p+const$. Это гамильтонова версия теоремы о выпрямлении векторного поля. Она и в многомерном случае верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выпрямление пары внешних диф. 2-форм в 2D
Сообщение11.05.2019, 15:47 
Заслуженный участник


29/08/13
286
Пока набирал понял, что действительно лучшее, на что, видимо, можно рассчитывать в окрестности хорошей точки -- это $h = \overline{A}$, но преобразование не единственное, конечно :-(
$$
\overline{A} = h(A, B)\,,\qquad \overline{B} = \overline{B}(A, B)\,:\qquad h_A\overline{B}_B - h_B\overline{B}_A = 1\,.
$$
Произвол в выборе $\overline{B}$ получается в одну произвольную аддитивную функцию одного аргумента $h(A, B)$.

Думаю, тему можно закрывать. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group