Про ранг матрицы

[Charlz_Klug]

Прошу проверить решение.

Задача:
Найти все значения $\lambda$ при которых равен двум ранг матрицы:

$$A(\lambda) = \left ( \begin{matrix} \lambda - 4 & 2 & 3 \\ 2 & \lambda - 1 & 6 \\ 3 & 6 & \lambda + 4 \end{matrix} \right ).$$

Решение:
Раз ранг матрицы равен двум, то это значит что можно умножить вторую строку на некоторое число $\alpha$ и сложить с третьей строкой, умноженной на некоторое число $\beta$, и получить первую строку. Исходя из этих соображений составляю систему уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} 2 \alpha + 3 \beta &=& \lambda - 4 \\ (\lambda - 1) \alpha + 6 \beta &=& 2 \\ 6 \alpha + (\lambda + 4) \beta & = & 3 \end{array} \right..$$

Из первого и второго уравнения получаю что $\alpha = -2$ и $\beta = \dfrac {\lambda} {3}$. Эти значения подставляю в третье уравнение: $6(-2) + (\lambda + 4) \dfrac {\lambda} {3} = 3 \Rightarrow \lambda^2 + 4 \lambda - 45 = 0$. Корни этого уравнения: $\lambda_1 = 5$ и $\lambda_2 = -9$.
Проверка для $\lambda_1 = 5$:

$$\left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} \right ) \Rightarrow \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right ) \Rightarrow \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )_.$$

Значит, $\lambda_1 = 5$ не подходит.
Проверка для $\lambda_2 = -9$:

$$\left ( \begin{matrix} -13 & 2 & 3 \\ 2 & -10 & 6 \\ 3 & 6 & -5 \end{matrix} \right ) \Rightarrow \left ( \begin{matrix} -13 & 2 & 3 \\ 2 & -10 & 6 \\ 1 & 16 & -11 \end{matrix} \right ) \Rightarrow \left ( \begin{matrix} 1 & 16 & -11 \\ 2 & -10 & 6 \\ -13 & 2 & 3 \end{matrix} \right ) \Rightarrow \left ( \begin{matrix} 1 & 16 & -11 \\ 0 & -42 & 28 \\ 0 & 210 & -140 \end{matrix} \right ) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left ( \begin{matrix} 1 & 16 & -11 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 3 & -2 \end{matrix} \right ) \Rightarrow \left ( \begin{matrix} 1 & 16 & -11 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )_.$$

Подходит.

Ответ: Под искомые требования подходит только $\lambda = -9$.

[thething]

А Вы что-нибудь знаете про ранг симметричной матрицы?

[Munin]

Charlz_Klug в сообщении #1392200 писал(а):

Раз ранг матрицы равен двум, то это значит что можно умножить вторую строку на некоторое число $\alpha$ и сложить с третьей строкой, умноженной на некоторое число $\beta$, и получить первую строку.

Не обязательно. Исходное утверждение выглядит так: раз ранг матрицы меньше 3, то это значит, что можно умножить первую, вторую и третью строки на некоторые числа $\omega,\alpha,\beta,$ сложить между собой, и получить нуль.

Уравнение, соответственно, должно получиться кубическое. Один из корней вы потеряли.

[Charlz_Klug]

thething, без понятия. Буду копать. Munin, не подумал с этой стороны. Спасибо за ответы!

[nnosipov]

Charlz_Klug
А почему бы просто не вычислить определитель матрицы $A(\lambda)$, приравнять его нулю, решить уравнение?

[Munin]

nnosipov
Это слишком просто. Ясно же, что квадратные уравнения сложнее кубических!

[Charlz_Klug]

nnosipov, сделал так, получилось уравнение $\lambda^3 - \lambda^2 - 65 \lambda + 225 = 0$. Разложил на множители: $(\lambda -5)(\lambda - 5)(\lambda + 9) = 0$. И... Опять получается $\lambda = -9$. Других вариантов не вижу. Получается что только $\lambda = -9$ мне подходит.

[nnosipov]

Кстати, корень он не потерял. Значению $\lambda=5$ соответствует 2-мерное собственное подпространство. Значит, разных собственных значений не более двух.

А, вот и явное вычисление.

[Charlz_Klug]

nnosipov, значит ответ верный?

[nnosipov]

Верный.

[Charlz_Klug]

nnosipov, спасибо!

[Munin]

nnosipov в сообщении #1392226 писал(а):

Кстати, корень он не потерял.

Но заранее этого он знать не мог. Лучше действовать надёжным путём (можно пойти на потерю корня, если потом его проверить).

[Charlz_Klug]

Munin, спасибо!

[feedinglight]

Вроде можно просто привести к треугольному виду (нужно чтобы на диагонали получился ровно 1 ноль и 2 не нуля) и, в данном случае, получится уравнение 1-й степени. Строки можно поменять сперва для удобства:

$$\left ( \begin{matrix} 2 & \lambda - 1 & 6 \\ 3 & 6 & \lambda + 4 \\ \lambda - 4 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \right ).$$

В конце получится (на $(\lambda - 5)$ понятно почему можно сократить)

$$\left ( \begin{matrix} 2 & \lambda - 1 & 6 \\ 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & \lambda + 9 \\ \end{matrix} \right ).$$

(Оффтоп)

А если довести матрицу до диагонального вида и все элементарные действия (включая перестановку строк) произвести с единичной матрицей, то из единичной матрицы получится обратная к исходной.

[svv]

Charlz_Klug, понимаете ли Вы, что эти две вещи связаны?
$\bullet$ при $\lambda=5$ матрица $A(\lambda)$ имеет ранг на $2$ меньше своего порядка, т.е. трёх;
$\bullet$ корень $\lambda=5$ уравнения $\det A(\lambda)=0$ имеет кратность $2$.

Можете ли Вы перебросить логический мостик от одного к другому, с учётом того, что Ваша матрица симметрична?
Возможно, Вы этого ещё не проходили.