Проекции борелевских множеств

[valerych]

Существует ли борелевское множество $C \subset \mathbb R^2$ такое, что его проекция $\{x \mid \exists y\in\mathbb R\colon (x, y)\in C\}$ не является борелевским множеством и для любого $x\in\mathbb R$ множество $\{y \mid (x, y)\in C\}$ замкнуто?
Известно, что существует борелевское множество $B\subset \mathbb R^2$ такое, что его проекция $\{x \mid \exists y\in\mathbb R \colon (x, y)\in B\}$ не является борелевским множеством на прямой. В известном мне примере множества $B$, построенного на основе универсального множества в $\mathbb R^3$, сечения $\{y \mid (x, y)\in B\}$ являются подмножествами иррациональных чисел, из чего замкнутость не следует. Если данные сечения замкнуть, то непонятно, останется ли полученное множество борелевским. Скорее всего, при этом ещё и изменится проекция. Непонятно, возможно ли всё-таки решить эту задачу с использованием универсального множества или требуются иные походы.