Поиск кривой, подходящей под интегральное уравнение

[Red_Herring]

firk в сообщении #1391773 писал(а):

В попытках поиска аналитического решения нашёл ссылки на эллиптические функции, которые сами по себе аналитически, как я понял, не считаются, а с ними придётся ещё дальше считать интегралы

Вполне считаются. Но вот какие граничные условия на концах (по 2) и условия сопряжения (по 4) в промежуточных точках будут? По одному граничному условию и по три условия сопряжения мы знаем, надо найти по одному, и каков их геометрический смысл?

Ну и конечно, ни о каком интегральном уравнении с самого начала речи нет, а есть вариационная задача для (векторной) функции одной переменной.

[firk]

Так же в порядке эксперимента было сделано следующее но по-моему это тупиковый вариант:

(Оффтоп)

Повернём систему координат так чтобы $\beta = 0, \vec \lambda = (\lambda, 0)$ и переформулируем уравнение (3) в терминах $\alpha$: $\alpha' = s_r \sqrt {\lambda \cos \alpha + 1}$, а так же получим $\alpha'' = -\lambda \frac{\sin \alpha}{2}$. Заменив $\cos \alpha = x'$, $\sin \alpha = y'$, получим в итоге такое уравнение: $y' = - s_r \frac {x''}{\sqrt{\lambda x'+1}}$. В нём нет явной тригонометрии, и в нём явно указаны компоненты $x, y$ искомой кривой, но кажется это ничем не помогает его решить.

Само поведение $\alpha(l)$ можно наглядно описать с помощью следующей картинки (нарисовано в системе координат где ось $x$ параллельна $\lambda$):

Угол $\alpha$ не может приводить к $v_x < -a$. В самой точке $v \cos \alpha = v_x = -a$ происходит разворот вращения вектора направления $\vec v$ - смена знака $s_r = sign \vec v'$. Если $\left| \vec \lambda \right| < a$ то эта точка отсутствует.Если $\left| \vec \lambda \right| = a$ то в этой точке будет $\vec v' = 0$ и $\vec v'' = 0$ - то есть попасть в ней можно только из соответствующего начального условия, и кривая тогда будет строго прямой (это одно из решений, которое не следует забывать). Поведение $\alpha(l)$ в целом напоминает поведение физического маятника, с вектором "гравитационного поля" $\vec \lambda$ и полной энергией $a$. Возможно, оно даже в точности с ним совпадает, но в данном случае это незачем выяснять.

Введём $\vec \lambda_1 = \frac{\vec \lambda}{a}$, тогда из уравнений (3), (4) и (5) можно вынести $a$ за скобки, и теперь при увеличении/уменьшении $a$, при сохранении постоянным $\vec \lambda_1$, график $\vec v(l)$ будет кратно сжиматься/растягиваться вдоль оси $l$, а искомая кривая - кратно сжиматься/растягиваться по обеим своим осям. Поэтому для упрощения дальнейших расчётов можно взять $a = 1$, а затем уже готовые решения просто масштабировать в зависимости от этого параметра.

Теперь рассмотрим случай, который был заявлен в самом начале задачи - много фиксированных точек, через которые надо провести кривую. Очевидно, что каждый из сегментов этой кривой в отдельности будет решением своей задачи - он будет давать локальный минимум функционала при зафиксированных $\vec f(0)$, $\vec f(L)$, $\vec v(0)$, $\vec v(L)$. Если бы это было не так, то можно было бы, не трогая остальную кривую, заменить этот сегмент на более оптимальный, получив лучшую кривую в целом.

Если проварьировать полный интеграл по всей кривой, получим сумму значений, посчитанных по формуле (1) для каждого сегмента. Интегральные слагаемые нулевые, так как сегмент - решение более простой задачи выше, неинтегральные слагаемые с множителем $\vec g$ нулевые, так как в фиксированных точках $\vec g = 0$. Из оставшегося слагаемого сокращается всё, кроме двух раз, если учесть дифференцируемость кривой ($\vec g'$ не меняет свой значение в точках сопряжения) и следующее из этого необходимое условие отсутствия ступенек $L_{\vec f''}$ в этих же точках. Остаётся только

$$\sum_k \frac {dS_k}{d\varepsilon} = \sum_k \left[ L_{\vec f''} \vec g' \right]_{T_k}^{T_{k+1}} = \left[ L_{\vec f''} \vec g' \right]_{0}^{T} = \left[ 2 \vec v' \vec g' \right]_{0}^{T}$$

Из необходимого равенства нулю этой производной и необходимости выполнять это при любых $\vec g$ следует условие $\vec v'(0) = \vec v'(T) = 0$ - то есть на самых крайних точках не должно быть искривления, что, вобщем-то, и так было интуитивно понятно.

Из условия сопряжения $L_{\vec f''}(T_k^+) = L_{\vec f''}(T_k^-)$, оно же $\vec v'(T_k^+) = \vec v'(T_k^-)$ - сохранение кривизны в промежуточных точках, следует (с учётом уравнения (3)), что в этих точках должно сохраняться $(\vec \lambda \vec \v)$ - проекция $\lambda$ на текущее направление кривой.

Осталось не очень понятным, как так вышло, что повороты направлений в промежуточных точках ни на что не влияют, но, вероятно, там не так просто их повернуть, не затронув что-то ещё. Думаю это станет яснее после расчёта кривых на сегментах.

[Red_Herring]

Не майтесь ..., а найдите условия... Они, естественно, не влияют на уравнения

[firk]

Red_Herring в сообщении #1391781 писал(а):

firk в сообщении #1391773 писал(а):

В попытках поиска аналитического решения нашёл ссылки на эллиптические функции, которые сами по себе аналитически, как я понял, не считаются, а с ними придётся ещё дальше считать интегралы

Вполне считаются. Но вот какие граничные условия на концах (по 2) и условия сопряжения (по 4) в промежуточных точках будут? По одному граничному условию и по три условия сопряжения мы знаем, надо найти по одному, и каков их геометрический смысл?

Ну и конечно, ни о каком интегральном уравнении с самого начала речи нет, а есть вариационная задача для (векторной) функции одной переменной.

Имеется ввиду функция амплитуды Якоби - для неё разве есть аналитическое выражение?

Про количество условий - не очень понял.

По самой постановке задачи есть по одному (два если скалярные) условию что эти точки не варьируются, и всё.
Другие условия, которые возникли в ходе решения:
Условие $\vec f'' = 0$ в крайних точках - оно считается или нет? Если да то вот оно второе.
Условие дифференцируемости второго порядка по всей кривой, в том числе и в промежуточных точках - это сколько условий? (их него следует равенство направлений в точке сопряжения).
Условие сохранения $\vec f''$ в точках сопряжений.
Условие равенства $\vec \lambda \vec v$ в точке сопряжения.
(все эти условия уже были так или иначе упомянуты).

Ещё что-то с геометрическим смыслом, но сомневаюсь что тут дело в граничных условиях. Кроме глобального минимума функционала (на сегменте) есть куча локальных, с самопересекающимися спиралями - они нежелательны в качестве решения.

[Red_Herring]

firk в сообщении #1391794 писал(а):

Про количество условий - не очень понял.

По самой постановке задачи есть по одному (два если скалярные) условию что эти точки не варьируются, и всё.

Следует понимать, что если есть функционал порядка $m$, то вариационная задача в отдельных точках может включать только производные до порядка $m-1$, и потому в граничных точках $\le m$ условий, а в промежуточных $\le 2m$ условий. В то же время вы получаете ОДУ порядка $2m$ и для него эти неравенства должны быть заменены на равенства. У вас $m=2$ но на концах по одному условию изначально (кривая проходит через нее). Вы получили $f''=0$в крайних точках. Это и есть второе условие. Каков его геометрический смысл?

(Оффтоп)

Кривизна $=0$!

В промежуточных точках имеются по три условия (кривая справа/слева проходит через нее и кривая не имеет излома). Нужно еще одно условие, вы его получили ($f''$ не имеет скачка). Каков его геометрический смысл?

(Оффтоп)

Кривизны слева и справа равны

. Все! У нас имеется правильная многоточечная задача для ОДУ. Можно обсуждать его решение, почти наверняка для практических нужд придется решать численно.

[firk]

Red_Herring в сообщении #1391801 писал(а):

Вы получили $f''=0$в крайних точках. Это и есть второе условие. Каков его геометрический смысл?

(Оффтоп)

Кривизна $=0$!

Так я про это уже написал (третий абзац с конца той простыни выше).

Цитата:

Нужно еще одно условие, вы его получили ($f''$ не имеет скачка). Каков его геометрический смысл?

(Оффтоп)

Кривизны слева и справа равны

Про это - второй абзац с конца той же простыни.

Цитата:

У нас имеется правильная многоточечная задача для ОДУ. Можно обсуждать его решение, почти наверняка для практических нужд придется решать численно.

Так и в чём я был не прав?

[Red_Herring]

firk в сообщении #1391803 писал(а):

Так и в чём я был не прав?

В том, что все это спрятали в середине простыни

[firk]

Одно из решений (если правильно всё посчитал), которое выглядит контр-интуитивно.

Очевидно, что в задаче для двух точек и без фиксированных направлений правильным ответом будет отрезок между этими двумя точками. Но из тех формул что были выше получается например такое (естественно там много похожих кривых с чуть отличающимися $\lambda$):

(чёрная линия, масштаб x100).

Это кривая с параметрами $a=1, \lambda_x = 2.173, \lambda_y = 0, \alpha(0) = \arccos (-1/\lambda) = 0.65222 \pi, L=4.07$, $\vec f(0)=0, \vec f(L) = (0.6238, 0)$, которая удовлетворяет условию нулевой первой вариации, а кривизна у неё на концах нулевая.

В то же время мне показалось, что можно плавно спуститься от этой линии к отрезку, просто стягивая её в его сторону.
Попытки численно проверить это, вроде бы подтверждают что это всё-таки минимум: численные значения интеграла и для красных и для зелёных линий вроде бы больше, чем для чёрной, но полной уверенности в точности расчётов нет.

Хотя если это и правда минимум, то он конечно локальный и не является решением задачи, но даже локальный минимум в таком месте смотрится странно.