Зорич - Математический анализ (задачи-это неправильно???)

[duqu]

Any answers are welcome, in English or Russian. Thank you!
Любые ответы приветствуются, на английском или русском языках. Спасибо! (Я использую Яндекс переводчик)

Sorry I'm foreigner, I deal with exercise 3.1.4 (i), page 105 that states: $\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{P_{k}}{Q_{k}}\right|>\dfrac{1}{Q_{k}^{2}\sqrt{5}}$. By testing with certain values of $\dfrac{P_{k}}{Q_{k}}$ and by Borel's Theorem (N. Vorobiev - Fibonacci Numbers 2002) I think it's wrong.
But I don't know how the Russian version of the book describes this problem, and it's strange that after 6th edition, no one notice it's wrong?

Here is the problem in Russian (В. А. Зорич - Математический анализ _Часть I. — 6-е _МЦНМО _2012)
https://imgur.com/a/wGfVIJJ

[Otta]

duqu
В другую сторону там неравенство. Левая часть меньше правой.
В новых (да и в старых) изданиях Зорича хватает опечаток.

[duqu]

Otta в сообщении #1391592 писал(а):

duqu
В другую сторону там неравенство. Левая часть меньше правой.

I don't really understand what you mean. But I think the inequality is wrong for both direction, here is example:

Я не совсем понимаю, что ты имеешь в виду. Но я думаю, что неравенство неправильно для обоих направлений, вот пример:

$$Q_{k}=F_{k}$$

$$P_{k}=F_{k+1}$$

$$\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{F_{7}}{F_{6}}\right|<\dfrac{1}{F_{6}^{2}\sqrt{5}}$$

but

$$\left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{F_{8}}{F_{7}}\right|>\dfrac{1}{F_{7}^{2}\sqrt{5}}$$

Цитата:

В новых (да и в старых) изданиях Зорича хватает опечаток.

I don't think it's typo when both directions of the inequality are wrong, and that what I worry about (what the real meaning of this exercise, what do the author try to convey, etc...). That I don't know the correct version which author intend to provide.

Я не думаю, что это опечатка, когда оба направления неравенства неправильны, и что меня беспокоит (какой реальный смысл этого упражнения, что автор пытается передать и т. д...). Что я не знаю правильной версии, которую намерен предоставить автор.

[demolishka]

Смысл вот в чем. Известно (см. Хинчин. Цепные дроби, теорема 20 (в третьем издании)), что для всякого иррационального числа $\alpha$ найдется бесконечно много дробей $\frac{p}{q}$ со свойством

$$\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{\sqrt{5}q^{2}}.$$

Из некоторых соображений следует, что такие $\frac{p}{q}$ могут быть только подходящими дробями (теорема 19 у Хинчина). Золотое сечение показывает, что эта оценка не может быть улучшена (без сужения класса рассматриваемых чисел), так как для заданного $c < \frac{1}{\sqrt{5}}$ при достаточно больших $k$ будет выполнено

$$\left|\frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{p_{k}}{q_{k}}\right| > \frac{c}{q_{k}^{2}}.$$

Опять же это разобрано у Хинчина на стр. 44. В общем ответ такой

$$\left|\frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{p_{k}}{q_{k}}\right| = \frac{1}{q^{2}_{k}(\sqrt{5}+\varepsilon_{k})},$$

где у $\varepsilon_{k}$ мигающий знак. Поэтому для четных $k$ будет неравенство в одну сторону, а для нечетных - в другую.

[duqu]

Цитата:

Поэтому для четных $k$ будет неравенство в одну сторону, а для нечетных - в другую.

Thanks for clarifying this!
I have not read Khinchin's book yet, but the Vorobiev's Fibonacci Numbers I mentioned above have the same theorem.

Спасибо за разъяснение!
Я еще не читал книгу Хинчина, но упомянутые выше числа Фибоначчи Воробьева имеют ту же теорему.