Операторы в неравновесном случае

[S.Grisha]

Рассмотрим 2d квантовую систему электронов. Предположим, энергия $E_a$ системы зависит от набора квантовых чисел $a=(n, x)$. Оператор плотности, без нормировки на 1, имеет вид

$$\hat{D}= \exp \frac{\mu \hat{N} - \hat{H}}{kT}.$$

$\operatorname{Tr} \hat{D}=\sum\limits_a \left(1+\exp \frac{\mu - E_a}{kT} \right)$. Это статистическая сумма большого канонического ансамбля электронов.

Теперь зададим градиент температуры вдоль $x$. Чтобы правильно записать оператор плотности необходимо учесть, что $T=T(x)$ и $\mu=\mu(x)$.

В данном случае не ясно какой вид имеет оператор плотности. В частности, $[\hat{x},\hat{H}] \ne 0$.

[Alex-Yu]

Распределение Гиббса к неравновесному случаю не имеет никакого отношения. Оно исключительно для равновесного случая.

[S.Grisha]

Alex-Yu, в этом и вопрос: как получить распределение в неравновесном случае и записать соответствующий оператор плотности?

[warlock66613]

S.Grisha, в неравновесном случае нельзя говорить о температуре и химическом потенциале - требуется по крайней мере локальное равновесие. А чтобы говорить о локальном равновесии, надо разбить систему на области, каждую со своим (смешанным) квантовым состоянием = распределением.

[S.Grisha]

warlock66613, да, после разбиения области на маленькие части, где есть локальное равновесие, для каждой области можно записать свой оператор. Но тогда как будет выглядеть оператор, действующий на всём пространстве, а не на локальном кусочке?

Отдельный вопрос, справедливо ли полагать, что в $\operatorname{Tr} \hat{D}_{loc}=\sum\limits_{n,x} \left(1+\exp \frac{\mu - E_n(x)}{kT} \right)$ можно записать мало изменяющиеся $\mu(x), T(x)$ и разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $x$?

Вперёд всего нужно было бы разложить оператор, что не представляется возможным, так как при появлении $T(\hat{x})$ в операторе, запись $\operatorname{Tr}$ предполагает $[\hat{H},\hat{x}]=0$, что не выполняется.

[Alex-Yu]

S.Grisha в сообщении #1391016 писал(а):

в этом и вопрос: как получить распределение в неравновесном случае и записать соответствующий оператор плотности?

Это отдельная наука, кинетика называется. Для начала надо вывести (в данном случае квантовое) кинетическое уравнение. И если в равновесном случае есть распределение Гиббса, которое универсально, годится для всех систем, то универсального кинетического уравнения не бывает, оно свое для каждой системы. Потом надо решать это кинетическое уравнение. Причем на этом уровне еще никакой температуры не будет. Температура появится только при переходе к уравнениям типа гидродинамики, основанном на приближенном локальном равновесии.

В общем забудьте про статистический оператор с градиентом температуры. Такого вообще не бывает. В неравновесном случае основой является уравнение $d \rho/ dt=i[H,\rho]$ в котором вообще никакой температуры нет (причем здесь оператор $\rho$ многочастичный).

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #1391094 писал(а):

В неравновесном случае основой является уравнение $d \rho/ dt=i[H,\rho]$

Я бы даже сказал что основой является уравнение $d \rho/ dt=-i \hat L \rho$, где $\hat L$ - оператор, действующий на матрицу плотности, и не сводящийся в общем случае к коммутатору с обычным (то есть действующим на волновую функцию) оператором вроде $H$.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1391058 писал(а):

в неравновесном случае нельзя говорить о температуре и химическом потенциале - требуется по крайней мере локальное равновесие

А каким образом строго определяется понятие локального равновесия в случае существования стационарных потоков в веществе? Как какое-то приближение к полному равновесному состоянию?

[S.Grisha]

warlock66613 в сообщении #1391117 писал(а):

Я бы даже сказал что основой является уравнение $d \rho/ dt=-i \hat L \rho$, где $\hat L$ - оператор, действующий на матрицу плотности

А откуда черпается вид оператора $\hat{L}$? Что значит действующий на матрицу плотности? Матрица плотности – это же оператор плотности.

[warlock66613]

realeugene, я не уверен, что понял вопрос. По-моему, как раз если поток стационарный, то чисто формально можно считать, что локальное равновесие точное и не нарушается - это никак не конфликтует с существованием потоков.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1391150 писал(а):

это никак не конфликтует с существованием потоков.

Конечно конфликтует. При существовании какого-то стационарного потока, например, теплового, энтропия постоянно выделяется. В равновесных состояниях энтропия максимальна.

Кстати, Пригожин получил нобелевку по химии как раз за исследования диссипативных структур, возникающих в стационарных неравновесных процессах.

[warlock66613]

S.Grisha в сообщении #1391147 писал(а):

откуда черпается вид оператора $\hat{L}$?

В принципе, он выводится из гамильтониана (точного). На практике по-разному: может не столько выводиться, сколько угадываться (конечно, не просто так, а исходя из физических соображений). Окончательным критерием правильности служит подверждение результатов экспериментом.

[S.Grisha]

Alex-Yu в сообщении #1391094 писал(а):

Причем на этом уровне еще никакой температуры не будет.

Интересно, что изменяя температуру в ёмкости, где находится образец, мы меняем его квантовое состояние, то есть энергетический спектр системы как бы не явно зависит от температуры. Как устанавливается эта связь? Например, я знаю, что при очень маленькой температуре система находится в нижайшем квантовом состоянии, но как узнать в каком состоянии будет находится система, если я произведу измерение при другой температуре?

warlock66613 в сообщении #1391155 писал(а):

В принципе, он выводится из гамильтониана (точного).

А механизм вывода из гамильтониана известен?

[warlock66613]

realeugene в сообщении #1391151 писал(а):

При существовании какого-то стационарного потока, например, теплового, энтропия постоянно выделяется

Почему? Вроде может и не выделяться. Во всяком случае, если это существенно, то приближение локального равновесия использовать нельзя.

[realeugene]

warlock66613 в сообщении #1391159 писал(а):

Почему? Вроде может и не выделяться. Во всяком случае, если это существенно, то приближение локального равновесия использовать нельзя.

И. Пригожин в "Введение в термодинамику неравновесных процессов" успешно использует. И где-то он писал про приближение локального равновесия, что оно во многих случаях работает несмотря ни на что. Не могу сейчас найти это место. Но интересно, как локальное равновесие определяется более строго, чем интуитивно?