Помогите не сгореть в ОДУ (теория)

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать дурацкие вопросы про всякие теоремы, касающиеся ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений).

Вопрос № 1. Достаточные условия существования и единственности решения ОДУ первого порядка, разрешённого относительно производной.


Рассмотрим ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной: $\dot x = f(x, t)$.

В книге Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения на с. 152 формулируется следующее условие.
Рассмотрим непустое открытое множество $D$ на плоскости $tOx$. Пусть $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ определена и непрерывна всюду на $D$. Тогда для любой точки $(t_0, x_0) \in D$ существует единственное решение ОДУ, удовлетворяющее начальному условию $x_0 = \varphi(t_0)$.
В доказательстве выделяется прямоугольник достаточно малого размера $[a, b] \times [c, d]$ с центром в точке $(t_0, x_0)$, а непрерывность $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ нужна ровно для того, чтобы она была ограничена на $[a, b]$ и, следовательно, удовлетворяла условию Липшица. Во всяком случае, я других применений непрерывности частной производной не заметил.

Эльсгольц в книге Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление на с. 40 сразу требует условия Липшица, но не в произвольной открытой области, а лишь в замкнутом прямоугольнике, а существование и единственность решения доказывает в другом, более узком, замкнутом прямоугольнике. С другой стороны, на первый взгляд я не вижу, чем его доказательство принципиально отличается от доказательства Понтрягина.

Вопрос. Прав ли я, полагая, что в формулировке Понтрягина можно заменить непрерывность частной производной на требование, чтобы она на каждом отрезке оси абсцисс в пределах области $D$ удовлетворяла условию Липшица, и получится верная теорема?

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1390933 писал(а):

Вопрос. Прав ли я, полагая, что в формулировке Понтрягина можно заменить непрерывность частной производной на требование, чтобы она на каждом отрезке оси абсцисс в пределах области $D$ удовлетворяла условию Липшица, и получится верная теорема?

Кто "она"? Липшицу должна удовлетворять $f(x,t)$ и только по $x$: $|f(x,t)-f(x',t)|\le C|x-x'|$.

Для только существования (без единственности) достаточно непрерывности $f(x,t)$.

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1390961 писал(а):

Кто "она"?

Да, виноват, неаккуратно сформулировал. Давайте аккуратно. Верно ли следующее утверждение?

Пусть $D$ - произвольное непустое открытое множество на плоскости $tOx$ (во избежание путаницы обращаю внимание, что абсцисса $t$, ордината $x$ (я следую обозначениям Понтрягина). Пусть $f(t, x)$ непрерывна в $D$ и существует такая константа $C$, что $\forall (t, x_1), (t, x_2) \in D \ |f(t, x_1) - f(t, x_2) \le C |x_1 - x_2|$. Тогда для любой точки $(t_0, x_0) \in D$ уравнение $\dot x = f(t, x)$ имеет ровно одно решение $\varphi$, удовлетворяющее начальному условию $x_0 = \varphi(t_0)$.

[Red_Herring]

Следует добавить "определенное в окрестности $t_0$".

[Anton_Peplov]

Спасибо.

[ewert]

Липшицевость вместо непрерывной дифференцируемости по иксам -- это некоторая ловля блох, суть дела от этого принципиально не меняется. А вот то, что Эльсгольц

Anton_Peplov в сообщении #1390933 писал(а):

существование и единственность решения доказывает в другом, более узком, замкнутом прямоугольнике

-- это принципиально. Прямоугольник действительно придётся сузить, вообще говоря.