Здесь я буду задавать дурацкие вопросы про всякие теоремы, касающиеся ОДУ (обыкновенных дифференциальных уравнений).
Вопрос № 1. Достаточные условия существования и единственности решения ОДУ первого порядка, разрешённого относительно производной.
Рассмотрим ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной:
.
В книге
Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения на с. 152 формулируется следующее условие.
Рассмотрим непустое открытое множество
на плоскости
. Пусть
определена и непрерывна всюду на
. Тогда для любой точки
существует единственное решение ОДУ, удовлетворяющее начальному условию
.
В доказательстве выделяется прямоугольник достаточно малого размера
с центром в точке
, а непрерывность
нужна ровно для того, чтобы она была ограничена на
и, следовательно, удовлетворяла условию Липшица. Во всяком случае, я других применений непрерывности частной производной не заметил.
Эльсгольц в книге
Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление на с. 40 сразу требует условия Липшица, но не в произвольной открытой области, а лишь в замкнутом прямоугольнике, а существование и единственность решения доказывает в другом, более узком, замкнутом прямоугольнике. С другой стороны, на первый взгляд я не вижу, чем его доказательство принципиально отличается от доказательства Понтрягина.
Вопрос. Прав ли я, полагая, что в формулировке Понтрягина можно заменить непрерывность частной производной на требование, чтобы она на каждом отрезке оси абсцисс в пределах области
удовлетворяла условию Липшица, и получится верная теорема?