2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Н. Н. Лузин о точечных множествах.
Сообщение03.05.2019, 13:34 


02/05/19
294
Читал книгу Н. Лузина «Теория функций действительного переменного» (изд. 1940 г.).
В § 22 гл. 2 Автор доказывает теорему: «Если ограниченное совершенное множество P не есть связное, то его можно разбить на два неперекрывающихся совершенных множества». Возник вопрос к доказательству замкнутости $P_{2}$ —множества всех точек, не соединимых с выбранной точкой ломаной с достаточно малыми звеньями.
1) Считаю, что эта часть доказательства содержит ошибку; «...Действительно, если A есть предельная точка для $P_{2}$ , то A не может принадлежать к $P_{1}$ потому что тогда к $P_{1}$ принадлежала бы и всякая точка P , отстоящая от A меньше чем на e...». Что это значит?
2) Вообще говоря, $P_{2}$ не замкнуто: рассмотрим, например, систему концентрических окружностей, диаметры которых стремятся к нулю. Пусть M — их общий центр, P состоит из M и всех точек плоскости, лежащих на окружностях. Тогда подмножество, состоящее из точек,не соединимых с M, не замкнуто!
3) Можно доказать, что множество разбивается на классы эквивалентности, каждый из которых представляет собой совершенное связное множество; но таких классов может оказаться несчётно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Н. Н. Лузин о точечных множествах.
Сообщение03.05.2019, 14:54 
Заслуженный участник


18/01/15
1570
Connector
Ошибки там отнюдь нет.
Connector в сообщении #1390752 писал(а):
Возник вопрос к доказательству замкнутости $P_{2}$ —множества всех точек, не соединимых с выбранной точкой ломаной с достаточно малыми звеньями.
Нет, не так. Не "с достаточно малыми звеньями", а со звеньями, длина которых не превосходит конкретного числа $\varepsilon>0$, причем узлы ломаной (не вся ломаная целиком !) принадлежат $P$. Вообще, правильнее, если по современному, ввести на множестве точек $P$ отношение $\varepsilon$-связанности: две точки $x$, $y$ считаем $\varepsilon$-связанными, если их можно соединить последовательностью $x_0,x_1,\ldots, x_n$, причем $x_0=x$, $x_n=y$, все $x_i\in P$, и $d(x_i,x_{i+1})<\varepsilon$ для всех $i$.

В этих терминах, множество связно, по определению, если для каждого $\varepsilon>0$ есть лишь один класс $\varepsilon$-связности. В доказательстве теоремы показывается, что если взять любую точку, и взять какое-то $\varepsilon>0$, то и ее класс, и дополнительное множество --- совершенны.

... Это что-нибудь проясняет ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Н. Н. Лузин о точечных множествах.
Сообщение03.05.2019, 15:26 


02/05/19
294
Разобрался. Спасибо Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Н. Н. Лузин о точечных множествах.
Сообщение03.05.2019, 15:39 
Заслуженный участник


18/01/15
1570
Пожалуйста. Обращайтесь, если что ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group