Н. Н. Лузин о точечных множествах.

[Connector]

Читал книгу Н. Лузина «Теория функций действительного переменного» (изд. 1940 г.).
В § 22 гл. 2 Автор доказывает теорему: «Если ограниченное совершенное множество P не есть связное, то его можно разбить на два неперекрывающихся совершенных множества». Возник вопрос к доказательству замкнутости $P_{2}$ —множества всех точек, не соединимых с выбранной точкой ломаной с достаточно малыми звеньями.
1) Считаю, что эта часть доказательства содержит ошибку; «...Действительно, если A есть предельная точка для $P_{2}$ , то A не может принадлежать к $P_{1}$ потому что тогда к $P_{1}$ принадлежала бы и всякая точка P , отстоящая от A меньше чем на e...». Что это значит?
2) Вообще говоря, $P_{2}$ не замкнуто: рассмотрим, например, систему концентрических окружностей, диаметры которых стремятся к нулю. Пусть M — их общий центр, P состоит из M и всех точек плоскости, лежащих на окружностях. Тогда подмножество, состоящее из точек,не соединимых с M, не замкнуто!
3) Можно доказать, что множество разбивается на классы эквивалентности, каждый из которых представляет собой совершенное связное множество; но таких классов может оказаться несчётно много.

[vpb]

Connector
Ошибки там отнюдь нет.

Connector в сообщении #1390752 писал(а):

Возник вопрос к доказательству замкнутости $P_{2}$ —множества всех точек, не соединимых с выбранной точкой ломаной с достаточно малыми звеньями.

Нет, не так. Не "с достаточно малыми звеньями", а со звеньями, длина которых не превосходит конкретного числа $\varepsilon>0$, причем узлы ломаной (не вся ломаная целиком !) принадлежат $P$. Вообще, правильнее, если по современному, ввести на множестве точек $P$ отношение $\varepsilon$-связанности: две точки $x$, $y$ считаем $\varepsilon$-связанными, если их можно соединить последовательностью $x_0,x_1,\ldots, x_n$, причем $x_0=x$, $x_n=y$, все $x_i\in P$, и $d(x_i,x_{i+1})<\varepsilon$ для всех $i$.

В этих терминах, множество связно, по определению, если для каждого $\varepsilon>0$ есть лишь один класс $\varepsilon$-связности. В доказательстве теоремы показывается, что если взять любую точку, и взять какое-то $\varepsilon>0$, то и ее класс, и дополнительное множество --- совершенны.

... Это что-нибудь проясняет ?

[Connector]

Разобрался. Спасибо Вам!

[vpb]

Пожалуйста. Обращайтесь, если что ...