Доказать, что d является метрикой

[Konst24]

Здравствуйте
Доказать, что d является метрикой
$d: X \times X \to \mathbb{R}$
Дано условие на $d$
$1. d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x = y$
$2. d(x,y) \leqslant d(z,x) + d(z,y)$
$\forall x,y,z \in X$

Доказал (правильно ли?) что d не отрицательно:
$y=x \Rightarrow d(x,x) = 0 \leqslant d(z,x)+d(z,x) \Rightarrow d(z,x) \geqslant 0$

Не могу понять, как доказать симметрию и неравенство треугольника. Натолкните на мысль, пожалуйста.
Сложнее всего с доказательством симметрии, потому что неравенство треугольника вывести возможно, если доказать симметрию.

[Geen]

(ерунду написал)

[LMA]

Konst24 в сообщении #1390746 писал(а):

как доказать симметрию

Подставьте $z=y$ в 2.

[Konst24]

Geen в сообщении #1390747 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390746 писал(а):

Не могу понять, как доказать симметрию

А почему Вы думаете, что это возможно? Может быть лучше попробовать придумать "контрпример"?

В задании сказано, что нужно доказать, что $d$ является метрикой на множестве $X$.

-- 03.05.2019, 17:22 --

LMA в сообщении #1390748 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390746 писал(а):

как доказать симметрию

Подставьте $z=y$ в 2.

Тогда получим
$d(x,y) \leqslant d(y,x) + d(y,y)$
$d(x,y) \leqslant d(y,x)$
Поэтому снова не доказано..

[LMA]

Konst24 в сообщении #1390749 писал(а):

$d(x,y) \leqslant d(y,x)$

И отсюда симметрия разве не следует?

[Konst24]

LMA в сообщении #1390750 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390749 писал(а):

$d(x,y) \leqslant d(y,x)$

И отсюда симметрия разве не следует?

Но ведь нет же равенства, у нас неравенство, поэтому не факт, что левая часть всегда равна правой.

[LMA]

Из $d(x,y) \leqslant d(y,x)$ следует $d(y,x) \leqslant d(x,y)$?

[SiberianSemion]

Konst24 в сообщении #1390751 писал(а):

Но ведь нет же равенства, у нас неравенство, поэтому не факт, что левая часть всегда равна правой.

Неравенство в другую сторону легко вывести из соображений симметрии. Подумайте, ведь $x$ и $y$ не так-то трудно поменять местами, верно?

[Konst24]

LMA в сообщении #1390753 писал(а):

Из $d(x,y) \leqslant d(y,x)$ следует $d(y,x) \leqslant d(x,y)$?

Да, точно, согласен.
Но вот теперь задумался, то есть, когда доказывал не отрицательность, то просто взял $y=z$
А нам же нужно доказать для любых $x, y, z$... Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

[LMA]

Konst24 в сообщении #1390755 писал(а):

Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

Ошибки нет: $z$ и $x$ произвольные.

[Konst24]

LMA в сообщении #1390757 писал(а):

Konst24 в сообщении #1390755 писал(а):

Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

Ошибки нет: $z$ и $x$ произвольные.

Разобрался, спасибо за помощь.