2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 12:57 


31/10/18
39
Здравствуйте
Доказать, что d является метрикой
$d: X \times X \to \mathbb{R}$
Дано условие на $d$
$1. d(x,y)=0 \Longleftrightarrow x = y$
$2. d(x,y) \leqslant d(z,x) + d(z,y)$
$\forall x,y,z \in X$

Доказал (правильно ли?) что d не отрицательно:
$y=x \Rightarrow d(x,x) = 0 \leqslant d(z,x)+d(z,x) \Rightarrow d(z,x) \geqslant 0$

Не могу понять, как доказать симметрию и неравенство треугольника. Натолкните на мысль, пожалуйста.
Сложнее всего с доказательством симметрии, потому что неравенство треугольника вывести возможно, если доказать симметрию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4656
(ерунду написал)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:14 


02/12/18
88
Konst24 в сообщении #1390746 писал(а):
как доказать симметрию

Подставьте $z=y$ в 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:20 


31/10/18
39
Geen в сообщении #1390747 писал(а):
Konst24 в сообщении #1390746 писал(а):
Не могу понять, как доказать симметрию

А почему Вы думаете, что это возможно? Может быть лучше попробовать придумать "контрпример"?


В задании сказано, что нужно доказать, что $d$ является метрикой на множестве $X$.

-- 03.05.2019, 17:22 --

LMA в сообщении #1390748 писал(а):
Konst24 в сообщении #1390746 писал(а):
как доказать симметрию

Подставьте $z=y$ в 2.


Тогда получим
$d(x,y) \leqslant d(y,x) + d(y,y)$
$d(x,y) \leqslant d(y,x)$
Поэтому снова не доказано..

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:25 


02/12/18
88
Konst24 в сообщении #1390749 писал(а):
$d(x,y) \leqslant d(y,x)$

И отсюда симметрия разве не следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:28 


31/10/18
39
LMA в сообщении #1390750 писал(а):
Konst24 в сообщении #1390749 писал(а):
$d(x,y) \leqslant d(y,x)$

И отсюда симметрия разве не следует?


Но ведь нет же равенства, у нас неравенство, поэтому не факт, что левая часть всегда равна правой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:36 


02/12/18
88
Из $d(x,y) \leqslant d(y,x)$ следует $d(y,x) \leqslant d(x,y)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:40 
Аватара пользователя


24/03/19
147
Konst24 в сообщении #1390751 писал(а):
Но ведь нет же равенства, у нас неравенство, поэтому не факт, что левая часть всегда равна правой.

Неравенство в другую сторону легко вывести из соображений симметрии. Подумайте, ведь $x$ и $y$ не так-то трудно поменять местами, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:45 


31/10/18
39
LMA в сообщении #1390753 писал(а):
Из $d(x,y) \leqslant d(y,x)$ следует $d(y,x) \leqslant d(x,y)$?


Да, точно, согласен.
Но вот теперь задумался, то есть, когда доказывал не отрицательность, то просто взял $y=z$
А нам же нужно доказать для любых $x, y, z$... Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 13:49 


02/12/18
88
Konst24 в сообщении #1390755 писал(а):
Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

Ошибки нет: $z$ и $x$ произвольные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что d является метрикой
Сообщение03.05.2019, 15:25 


31/10/18
39
LMA в сообщении #1390757 писал(а):
Konst24 в сообщении #1390755 писал(а):
Нет ли ошибки в моих рассуждениях?

Ошибки нет: $z$ и $x$ произвольные.


Разобрался, спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group