Сложности в изучении комбинаторики(совсем в отчаянии)

[Yadryara]

romzes200677, во-первых не стоит отказываться от удобного способа записи комбинаций. Корзины всё-таки давайте нумеровать от $0$ до $2$, а не от $1$ до $3$.

Важнее вот что.

$0000001$
$0000010$
$0000011$
$0000100$
...
$1111101$
$1111110$

Таких комбинаций, с пустой корзиной номер $2$, как вы правильно подсчитали, всего $126$. Более короткий способ подсчёта $2^7-2=126$. Из полного набора 7-битовых чисел выкидываются первое и последнее ($0000000$ и $1111111$). Или, говоря по другому, мы здесь раскладываем $7$ шаров уже по $2$-м корзинам, но без пустых, отсюда тоже следует $2^7-2=126$.

$0000002$
$0000020$
$0000022$
...
$2222220$

Догадываетесь, сколько таких вариантов?

$1111112$
...
$2222221$

А таких?

Какие ещё варианты нам не подходят?

[romzes200677]

Yadryara
Здравствуйте. Я все это время долго думал и анализировал почему я неправильно решил задачу и умножил выборки на $3!$. И потом я понял что у меня опять проблема , я неправильно понял условия задачи , я почему-то сделал вывод что корзины различны и порядок расстановки корзин важен - это одно и то же. Поэтому я и умножил на $3!$ . А здесь если корзины пронумерованы ,то их как ни расставляй - номера корзин останутся одинаковыми. Есть в математике такой трюк для задач , некоторые условия задачи опускаются чтобы запутать , но логически их можно вывести. Вот наверно с логикой у меня проблемы.Кстати логические задачи я тоже плохо решаю.
Правильно я понял что порядок корзин здесь не важен ?
Т.е 1,2 корзины полные и 3 пустая это одно и тоже что 2,1 корзины полные и 3 пустая ?

[Yadryara]

romzes200677, давайте так. Ответьте, пожалуйста, на мои вопросы из предыдущего поста. Я же их не просто так задавал. Вот прям отвечаете на все три вопроса подряд. Если вас не затруднит, конечно.

А я чуть позже отвечу на ваши. Если они к тому времени не отпадут.

[romzes200677]

Yadryara
Хорошо.Отвечаю.
1)Для раскладки шаров 0 и 2 : $2^7-1=127$ (т.к вариант 0000000 мы уже вычитали для раскладки шаров 0 и 1 )
2)Для раскладки шаров 0 и 2 : $2^7-1=127$ (т.к вариант 1111111 мы уже вычитали для раскладки шаров 0 и 1 )
3)По идее мы все варианты учли, других на мой взгляд нет

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1389013 писал(а):

1)Для раскладки шаров 0 и 2 : $2^7-1=127$ (т.к вариант 0000000 мы уже вычитали для раскладки шаров 0 и 1 )

Нет.

romzes200677 в сообщении #1389013 писал(а):

2)Для раскладки шаров 0 и 2 : $2^7-1=127$ (т.к вариант 1111111 мы уже вычитали для раскладки шаров 0 и 1 )

Снова нет. Да и причём здесь вообще вариант $1111111$?

romzes200677 в сообщении #1389013 писал(а):

3)По идее мы все варианты учли, других на мой взгляд нет

Да, мы уже все учли.

Сколько же нам нужно их вычесть из $3^7$ ?

Сначала вычитаем 3 варианта с двумя пустыми корзинами: $0000000$, $1111111$ и $2222222$.

Затем с одной пустой корзиной. Почему если пуста корзина номер $2$, то вы вычитаете $126$ вариантов, а если пусты корзины номер $1$ и $0$, то по $127$?

Если всё ещё непонятно, то возьмите, да и выпишите все вычитаемые варианты. Не так уж их и много.

Ладно. Смотрите внимательно. Те, которые уже вычтены, зачёркнуты.

0000000
$0000001$
...
$1111110$
1111111

0000000
$0000002$
...
$2222220$
2222222

1111111
$1111112$
...
$2222221$
2222222

А сколько между зачеркнутыми в каждой группе?

[romzes200677]

Yadryara
В каждой группе у нас $2^7-2=126$ Почему я вычел больше на одну раскладку т.к подумал что два раза учитываем 0000000 и это не правильно. Хотя теперь понял что при смене шаров мы мы заново считаем раскладки а не продолжаем отсчет. Получается что ответ $3^7-126\cdot3=1809$

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1389073 писал(а):

Получается что ответ $3^7-126\cdot3=1809$

Нет же. Вы заметили, что я сделал добавку к моему предыдущему посту? Видимо, да. Вы увидели, что между зачёркнутыми в каждой группе действительно $126$ вариантов. Но почему же вы теперь не вычли те самые $3$ варианта с двумя пустыми корзинами($0000000$, $1111111$ и $2222222$) ? Я советовал это сделать сразу же. А уж потом переходить к вариантам с одной пустой корзиной.

$3^7-3-126\cdot3=1806$

или

$3^7-\binom31-\left(2^7-\binom21\right)\cdot\binom31=1806$

Будем считать, что это способ номер раз. Хотя я уже намекал, что первым мне сразу же пришёл в голову другой способ:

Yadryara в сообщении #1388359 писал(а):

Конечно же можно было очень легко перейти от варианта "в" к варианту "г", но оставим пока этот способ за скобками

Мы просто берём количество вариантов для "в" и учитываем, что их стало в $3!$ раз больше.

$301\cdot3!=1806$

Опа! Вот такая занятная штука, эта комбинаторика.

Вы ведь сами об этом множителе ещё на 9-й странице написали:

romzes200677 в сообщении #1388066 писал(а):

Но т.к корзины различны у нас вариант 115 еще нужно умножить на 3! перестановок .

И это справедливо для всех раскладок "в", не только для $115$. Ведь при переходе к "г" для каждого варианта разложения шаров по корзинам у нас добавляются ещё $5$ вариантов, которые мы ранее считали идентичными с исходным.

Всё-таки есть ощущение, что у вас полностью ещё не устаканились методики подсчёта и не закрепился навык применения разных способов подсчёта и самостоятельной проверки результатов.

Так что давайте, наоборот, чуть упростим задачу по сравнению с исходной. Разложите теперь уже не 7 шаров по 3-м корзинам, а 5 шаров по 2-м корзинам. Но полностью самостоятельно. И напишите здесь ответы "a", "б", "в" и "г".

[romzes200677]

Yadryara
Добрый день! Прошу прощения за долгое отсутствие. К сожалению усваивается очень медленно материал, вот такой я есть . Все это время обдумывал и пытался решить задачи не подглядывая в решения.Получается 50/50 ,есть ошибки, но я решил задачи. Наверно Веленкина самостоятельно начну штудировать и потихоньку и прорешивать , подберу свой темп , а то здесь на форуме все решают быстро и нервничать начинаю когда я долго думаю

Ответы к задаче

Yadryara в сообщении #1389100 писал(а):

Так что давайте, наоборот, чуть упростим задачу по сравнению с исходной. Разложите теперь уже не 7 шаров по 3-м корзинам, а 5 шаров по 2-м корзинам. Но полностью самостоятельно. И напишите здесь ответы "a", "б", "в" и "г".

а) 2 (комбинации 113,122)
б) 6 (комбинации 113,131,311,122,212,221)
в) 25
г) 153 ($3^5-(2^5\cdot 3=153)$

Проверьте пожалуйста.

[Yadryara]

romzes200677, такое ощущение, что вы раскладываете не 5 шаров по 2-м корзинам, а 5 шаров по 3-м корзинам. Неужто опять невнимательность?

romzes200677 в сообщении #1390682 писал(а):

а то здесь на форуме все решают быстро и нервничать начинаю когда я долго думаю

"Спокойствие, только спокойствие!" Никто ж вас не торопит.

[romzes200677]

Yadryara
Ага , мой косяк , опять неправильно посмотрел . Я давно условие читал , а решать позже начал . Попробую разложить по 2 корзинам теперь.

-- 02.05.2019, 17:08 --

Yadryara
Раз уже решил для 3 корзин, хотелось бы узнать правильно или нет ?

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1390682 писал(а):

а) 2 (комбинации 113,122)
б) 6 (комбинации 113,131,311,122,212,221)
в) 25
г) 153 ($3^5-(2^5\cdot 3=153)$

Проверьте пожалуйста.

Если проверять именно раскладку 5 шаров по 3-м корзинам, то верно всё, кроме "г".

[Connector]

Здравствуйте!
Вы читали «Введение в конечную математику» Кемени, Снелла и Томпсона? «Введение в теорию вероятностей...» В. Феллера? Особенно рекомендую последнюю книгу, главу II (§ 5 по Вашей теме).
Любопытно сравнить, в каком порядке выводятся основные комбинаторные формулы в этих двух книгах.

[romzes200677]

Yadryara
Здравствуйте! Я вот долго разобрался с вариантом г) для 5 шаров и 3 корзин перепробовал различные варианты 3 шара 3 корзины, 4 шара 3 корзины чтобы разобраться наверняка ,долго времени потребовалось но вроде бы разобрался . Получается ответ $3^5-((2^5\cdot 3)-3)=150$ .

Правильно ? Если правильно буду для 2 корзин пересчитывать .

Connector в сообщении #1390732 писал(а):

Вы читали «Введение в конечную математику» Кемени, Снелла и Томпсона? «Введение в теорию вероятностей...» В. Феллера?

Здравствуйте Connector нет не читал , спасибо за совет обязательно прочитаю.

[Yadryara]

romzes200677, уж не знаю зачем Вы пошли таким путём, но результат верный.

Yadryara в сообщении #1389100 писал(а):

$3^7-\binom31-\left(2^7-\binom21\right)\cdot\binom31=1806$

Можно было просто подставить сюда $5$ вместо $7$:

$3^5-\binom31-\left(2^5-\binom21\right)\cdot\binom31=150$

Или

Yadryara в сообщении #1389100 писал(а):

Мы просто берём количество вариантов для "в" и учитываем, что их стало в $3!$ раз больше.

$301\cdot3!=1806$

Соответственно $25\cdot3!=150$

[ihq.pl]

romzes200677 в сообщении #1392576 писал(а):

разобрался с вариантом г) для 5 шаров и 3 корзин перепробовал различные варианты 3 шара 3 корзины, 4 шара 3 корзины чтобы разобраться наверняка ,долго времени потребовалось но вроде бы разобрался

О, коллега!
В учебнике Ширяева эта задача называется "случайное распределение дробинок по $n$ ячейкам". И она аналогична задаче о случайной выборке с возвращением из урны с $n$ шарами. Лично мне провести аналогию между этими задачами помешало навязчивое желание отождествить дробинки и шары, в то время как отождествлять надо шары и ячейки То есть, попадание дробинки в $k$-ую ячейку равносильно выбору шара под номером к. Cовсем недавно проходил это. Понравилось)))